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第二讲 函数综合问题(一)         ★★★ 【字体:
第二讲 函数综合问题(一)
作者:www.21maths.com    文章来源:www.21maths.com    点击数:    更新时间:2003-10-5
一、知识要点

    函数综合问题的难点在于在不同的背景条件下,根据有关的函数关系,把函数有关的理论和方法灵活应用于解决各种问题。主要问题有:函数性质的应用;函数的图象及其应用;函数的最值问题等。

 
  
二、例题解析

例1、已知函数wpe15A.jpg (5211 bytes)wpe161.jpg (2242 bytes)

(1)若f(x)的定义域为R,求a的范围及f(x)的值域;

(2)若f(x)的值域为R,求a的范围及f(x)的定义域。

     
解:(1)
wpe177.jpg (9703 bytes)
wpe178.jpg (4771 bytes)
wpe179.jpg (7985 bytes)
wpe17A.jpg (8424 bytes)
      
解:(2)
要使f(x)的值域为R,则在定义域中能取到一切正值。
wpe17B.jpg (11752 bytes)

a=0时,∵2x+1>0,∴定义域为wpe17C.jpg (2943 bytes)
wpe17D.jpg (2436 bytes)时,wpe17E.jpg (2755 bytes)
∴定义域为wpe180.jpg (6202 bytes)
    
    
例2、已知wpe181.jpg (4761 bytes)wpe182.jpg (2006 bytes)上是x的减函数,则a的取值范围是(     )

A、(0,1)   B、(1,2)  C、(0,2)   D、[2,+wpe183.jpg (1124 bytes)

  
解:wpe184.jpg (6231 bytes)
wpe185.jpg (4644 bytes)
wpe186.jpg (2007 bytes) 上是减函数
wpe187.jpg (3088 bytes)
应该是增函数,所以 a>1 ,排除AC
wpe188.jpg (5116 bytes)
wpe189.jpg (4042 bytes)
1 < a <2 B
   
 
例3、已知函数wpe18A.jpg (4833 bytes)wpe18B.jpg (2016 bytes) 上有意义,求实数a的取值范围。
  解:由题设得wpe18C.jpg (3990 bytes)wpe18D.jpg (2071 bytes)
     wpe18E.jpg (7964 bytes)
    wpe18F.jpg (4896 bytes)
    wpe190.jpg (5630 bytes)
    wpe191.jpg (9822 bytes)wpe192.jpg (2645 bytes)
  
例4、设s>1,t>1,wpe193.jpg (6336 bytes) 
     wpe194.jpg (10875 bytes)
    1)将y表示成x的函数 y=f(x),并求其定义域;

   (2)若关于x的方程 f(x)=0有唯一实根,求m的取值范围。

解:(1wpe195.jpg (4885 bytes)
      wpe196.jpg (8771 bytes)      wpe197.jpg (6058 bytes)wpe19A.jpg (6783 bytes)

      wpe19B.jpg (7970 bytes)
      wpe19C.jpg (9799 bytes)

    
2)方程 f(x)=0即为wpe198.jpg (6309 bytes)
           wpe199.jpg (3032 bytes)
           则方程 f(x)=0wpe19D.jpg (2269 bytes)上有唯一的实根转化为关于t的一元二次方程wpe19E.jpg (6542 bytes)wpe19F.jpg (2107 bytes)上有唯一的实根。
       wpe1A0.jpg (8272 bytes)
wpe1A1.jpg (8774 bytes)
      ∴根据二次函数的图象,知wpe1A2.jpg (8014 bytes)     wpe1A3.jpg (1940 bytes)
               wpe1A4.jpg (8849 bytes)
 
 
三、复习思考
1wpe1A5.jpg (2909 bytes)时,wpe1A6.jpg (3289 bytes)恒成立,则实数a的取值范
     围是(     )

A、wpe1A7.jpg (1895 bytes)     B、wpe1A8.jpg (2066 bytes)     C、a>2      D、a<-2

  
2、若函数f(x)的图象与wpe1A9.jpg (2869 bytes)的图象关于直线y=x对称,
       则wpe1AA.jpg (2931 bytes) 的递减区间为(        )  

A、wpe1AB.jpg (2026 bytes)     B、wpe1AC.jpg (2000 bytes)      C、(0,1]      D、[1,2)

 
 
3、若奇函数 f(x)在区间[a,b a>0,b>0)上是增函数,且有最
       小值3,则
f(x)在区间[-b,-a]上的最大值为             
 
 
4方程wpe1AD.jpg (4736 bytes)的解集是            
   
  
5、已知函数wpe1AE.jpg (6307 bytes)是奇函数,
       又
f(1)=2, f(2)<3

(1)求函数 f(x)的解析式;

(2)当x<-1时,讨论 f(x)的单调性。

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