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第八讲 空间中的距离和角         ★★★ 【字体:
第八讲 空间中的距离和角
作者:www.21maths.com    文章来源:www.21maths.com    点击数:    更新时间:2003-10-5
一、知识要点

    立体几何中的距离与角的计算,是建立在弄清概念,恰当作图,严格论证的基础上的。空间的角有三种:两种异面直线所成的角;直线与平面所成的角;平面与平面所成的角,它们的求法一般是化归为求两条相交直线的夹角,通常应用:线线角抓平移,线面角抓射影,面面角抓平面角而达到化归目的。空间的距离有八种:点与点;点到直线;点到平面;两平行直线;两异面直线;平行于平面的直线与该平面;两平行平面;两点间的球面距离。其中点与点,点到线,点到面的距离是基础,点到平面的距离有时用三棱椎体积等积变换法计算较为简单。解立体几何的计算题,一般应由作、证、算三部分组成,即:首先应作出必要的辅助线或辅助平面;然后通过推理、论证找到某角或某线段的长就是所求的角或距离;最后 才是计算,三个部分是一个整体。在研究空间的距离时,常将空间问题转化为平面问题来处理,这是化归思想在立体几何的具体运用。

   
       
二、例题解析

例1、如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=wpe305.jpg (847 bytes)AC >ABDE分别是BCAB的中点,设PCDE所成的角为wpe309.jpg (741 bytes)PD与平面ABC所成的角为wpe30D.jpg (822 bytes),二面角P-BC-A的平面角为wpe31A.jpg (803 bytes),则wpe309.jpg (741 bytes)wpe30D.jpg (822 bytes)wpe31A.jpg (803 bytes)的大小顺序为( 
        Awpe31F.jpg (1048 bytes)                Bwpe324.jpg (1173 bytes)
        Cwpe325.jpg (1073 bytes)              Dwpe32C.jpg (1041 bytes)
wpe32D.jpg (6416 bytes)

     
解:为了比较wpe309.jpg (741 bytes)wpe30D.jpg (822 bytes)wpe31A.jpg (803 bytes)的大小,首先需要在所给图中找出它们。
       连结
AD,由题知,∠PCA=wpe309.jpg (741 bytes),∠PDA=wpe30D.jpg (822 bytes),在wpe32E.jpg (995 bytes)中,作AMBCM,连结PM,则∠PMA=wpe31A.jpg (803 bytes),因wpe309.jpg (741 bytes)wpe30D.jpg (822 bytes)wpe31A.jpg (803 bytes)位于不同的直角三角形中,可转化为比较其三角函数值的大小。
    由wpe333.jpg (1305 bytes)wpe337.jpg (1335 bytes)wpe338.jpg (1422 bytes),只需比较
ACADAM的大小,由平面几何知识易知:AM<AD<AC,则wpe339.jpg (1533 bytes),故wpe33A.jpg (1070 bytes),选A
      
    
例2、过正方形ABCD的项点A,引PA⊥平面ABCD,若PA=AB,平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是(  
         A30º             B45º
         C
60º            D90º
 
解:为了求二面角的大小,一种自然的想法是先找后求,这就需要找出公共棱。有两种考虑:一是对原图进行补充,补成正方体;二是对一个面进行平移,即作一个面的平行平面。方法1:如图甲,以相邻三棱PAABAD构作正方体(如图乙)。平面ABP和平面CDP的交线为PQ,显然APPQDPPQ,所以二面角A-PQ-D的平面角为∠APD=45º,故选B
wpe33C.jpg (5934 bytes)     wpe33D.jpg (6654 bytes)
wpe33E.jpg (7001 bytes)
       
方法2:如图丙
EFGH分别为线段PAPBPCPD的中点,则有平面EFGH与平面PCD 行,只需求出平面EFGH与平面PAB所成二面角的大小即可,易知∠HEA即为所求。当然,作为选择题,也可以不作出二面角而去求其大小。
       
方法3:注意到平面PAB及平面PCD均与平面PAD垂直,故将整个图形向面PAD作垂直投影,则面ABP投影为直线PA,面PCD投影为直线PD,二面角的棱投影为一点P,在等腰直角三角形PAD中,显然有∠DPA=45º
    
方法4:由题设,易有DA⊥平面PAB,知D点在平面PAB上的射影为点A,点C在平面PAB上的射影为点B,即wpe330.jpg (1201 bytes)wpe33F.jpg (1127 bytes)在平面PAB上的射影。由wpe340.jpg (1654 bytes)
                             得:wpe341.jpg (3733 bytes)
wpe343.jpg (1081 bytes)

 

      
      
例3、地球半径为R,在北纬60º圈上有甲、乙两地,它们在纬度圈上的弧长为wpe344.jpg (1063 bytes),则甲、乙两地的球面距离为(    )
     Awpe345.jpg (1095 bytes)     Bwpe346.jpg (949 bytes)        CR             Dwpe347.jpg (982 bytes)
  
  解:对于同一纬度圈上的两点wpe348.jpg (810 bytes)wpe34C.jpg (832 bytes)的球面距离的计算方法可按如下程序进行:
a)求出纬度圈半径r
b)求出弦长wpe34D.jpg (987 bytes)
c)求出球心角∠wpe348.jpg (810 bytes)O wpe34C.jpg (832 bytes),从而求出球面距离。
对于本题,若设甲地对应wpe348.jpg (810 bytes)点,乙地对应wpe34C.jpg (832 bytes)点,纬度圈的半径为
r,则wpe34E.jpg (1860 bytes)由于wpe348.jpg (810 bytes)wpe34C.jpg (832 bytes)在纬度圈上的弧长为wpe34F.jpg (1107 bytes),故该弧所对的圆心角为wpe350.jpg (1367 bytes)=wpe351.jpg (837 bytes),则wpe34D.jpg (987 bytes)为该纬度圈的直径,从而wpe34D.jpg (987 bytes)=2r=R
又地球的半径亦为
R,所以wpe353.jpg (1244 bytes)为等边三角形,
wpe348.jpg (810 bytes)Owpe34C.jpg (832 bytes)
=wpe354.jpg (939 bytes)      
wpe348.jpg (810 bytes)wpe34C.jpg (832 bytes)两点的球面距离为
wpe355.jpg (1531 bytes)      选A
     
    
例4、如图,四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥面ABCD,截面CDEF∩面SAB=EF,且ESA中点。SA=AB=a
1)求证:EF∥平面ABCD
2)求二面角F-AD-C的大小;
3)求AB到平面CDEF的距离。
wpe356.jpg (5161 bytes)
   
证明:(1
           ∵
ABCD为正方形    
           ∴
CDAB
             ABwpe357.jpg (742 bytes)
SABwpe358.jpg (1402 bytes) CD∥面SAB
   
又面SAB∩面CDEF=EF
   
CDEF
   
EF∥面ABCD
     
2SA⊥面ABCDwpe35B.jpg (916 bytes)SAB⊥面ABCD
                                                       DA
AB wpe35D.jpg (957 bytes)
       
wpe35B.jpg (916 bytes)DA⊥面SABwpe35B.jpg (916 bytes)FAAD,又BAAD
      ∴∠
FAB为二面角F-AD-B的平面角
     
wpe35E.jpg (5175 bytes)
      即二面角F-AD-C等于45º
    
wpe361.jpg (8297 bytes)
wpe362.jpg (7814 bytes)
wpe363.jpg (2999 bytes)
AB到平面CDEF之距为wpe364.jpg (1081 bytes)
    
     
三、复习思考
1、平面wpe368.jpg (741 bytes)内的∠MON=60ºPO是平面wpe368.jpg (741 bytes)的斜线段,PO=3,且PO与∠MON的两边均成45º角,那么点P到平面wpe368.jpg (741 bytes)的距离为(   )
      Awpe369.jpg (896 bytes)      Bwpe36A.jpg (1135 bytes)      Cwpe36B.jpg (982 bytes)    Dwpe36C.jpg (962 bytes)
 
    
2、如图,棱长都为2的直平行六面体ABCD-wpe36D.jpg (1219 bytes)中,
     ∠BAD=60º,则对角线wpe36E.jpg (906 bytes)与侧面wpe36F.jpg (1180 bytes)所成角的正弦
     值为(
      Awpe370.jpg (857 bytes)     Bwpe371.jpg (970 bytes)    Cwpe372.jpg (949 bytes)    Dwpe373.jpg (973 bytes)
      wpe374.jpg (5472 bytes)
 
 
3P是平面ABC外一点,若PA=PB=PC,且∠APB =BPC=CPA=60º,则二面角P-AB-C的余弦值为           
 
4、我国某远洋考察船位于北纬30º,东经125º处,则此时离南极的球面距离为        (地球半径为R
      
     
5、如图,在正方体ABCD-wpe36D.jpg (1219 bytes)中,O为中心,Pwpe375.jpg (966 bytes)中点,
      wpe376.jpg (918 bytes)= wpe377.jpg (1059 bytes),连结OQOP,正方体棱长为a
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