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| 1998年数学全国统一招生考试题(文科类) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 作者：佚名 文章来源：本站原创 点击数： 更新时间：2003-7-25 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 一、选择题：本大题共15小题；第（1）－（10）题每小题4分，第（11）－ （15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四项选项中，只有一项是符合 题目要求的。 （1）sin600°的值是 （A）1/2 （B）-1/2 （C）  /2 （D）-/2（2）函数y=a|x|(a>1)的图象是  （3）已知直线x=a(a>0)和圆(x-1)2+y2=4相切，那么a的值是 （A）5 （B）4 （C）3 （D）2 （4）两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是 （A）A1A2+B1B2=0 （B）A1A2-B1B2=0 （C）A1A2/B1B2=-1 （D）B1B2/A1A2=1 （5）函数f(x)=1/x(x≠0)的反函数f-1(x)= （A）x(x≠0) （B）1/x(x≠0) （C）-x(x≠0) （D）-1/x(x≠0) （6）已知点P（sinα-cosα,tgα）在第一象限，则[0,2π)内α的取值范围是 （A）(π/2,3π/4)∪(π,5π/4) （B）(π/4,π/2)∪(π,5π/4) （C）(π/2,3π/4)∪(5π/2,3π/2) （D）(π/4,π/2)∪(3π/4,π) （7）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆 心角为 （A）120° （B）150° （C）180° （D）240° （8）复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是 （A） /2±1/2 （B）-/2±1/2i（C）± /2+1/2i （D）±/2-1/2i（9）如果棱台的两底面积分别是S，S'，中截面的面积是S0，那么  （A）2  = + （B）S0＝  （C）2SO＝S＋S' （D）S02＝2S'S （10）2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士。不同的分配方法共有 （A）6种 （B）12种 （C）18种 （D）24种 （11）向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与深h的函数关系的图象 如右图所示，那么水瓶的形状是  （12）椭圆x2/12+y2/3＝1的焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在 y轴上，那么点M的纵坐标是 （A）± /4 （B）±/2 （C）±/2 （D）±3/4（13）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过 这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为 （A）4 （B）2 （C）2 （D）（14）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为 （A）arccos  -1/2 （B）arcsin-1/2 （C）arccos1- /2 （D）arcsin1-/2（15）等比数列{an}的公比为-1/2，前n项的和Sn满足  Sn=1/a1，那么a1的值为 （A）± （B）±3/2 （C）± （D）± /2二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。 （16）设圆过双曲线x2/9-y2/16=1的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上， 则圆心到双曲线中心的距离是_____。 （17）(x+2)10(x2-1)的展开式x10的系数为______（用数字作答）。 （18）如图，在直四棱柱A1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件____ 时，有A1C⊥B1D1。（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所 有可能的情形。） （19）关于函数F(x)=4sin(2x+π/3)(x∈R)，有下列命题：  ①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍； ②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-π/6)； ③y=f(x)的图象关于点（－π、6，0）对称； ④y=f(x)的图象关于直线x=-π/6对称。 其中正确的命题的序号是_____。（注：把你认为正确的命题的序号都填上。） 三、解答题：本大题共6小题；共69分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 （20）（本小题满分10分）设a≠b，解关于x的不等式 a2x+b2(1-x)≥[ax+b(1-x)]2. （21）（本小题满分10分）在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，设a+c=2b， A-C=π/3，求sinB的值。以下公式供解题时参考： sinθ+sinφ=2sinθ+φ/2cosθ-φ/2, sinθ-sinφ=2cosθ+φ/2sinθ-φ/2, cosθ+cosφ=2cosθ+φ/2cosθ-φ/2, cosθ-cosφ=-2sinθ+φ/2sinθ-φ/2 （21）（本小题满分11分）如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1。 以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与点N的距离相等。若 △AMN为锐角三角形，|AM|=  ，|AN|=3，且|BN|=6。建立适当的坐标系，求曲线C的方程。 （22）（本小题满分12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底 宽为2米的无盖长方体沉淀箱。污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。 设箱体的长度为a米，高度为b米。已知流出的水中该杂质的质量分数 与a,b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米。问当a,b各为多少米 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略 不计）。  （23）（本小题满分12分）已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC 垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2 ，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C。 （Ⅰ）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小； （Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小； （Ⅲ）求顶点C到侧面A1ABB1的距离。 （24）（本小题满分12分）设曲线C的方程是y=x3-x，将C沿x轴、y轴正向分 别平行移动t、s单位长度后得曲线C1。 （Ⅰ）写出曲线C1的方程； （Ⅱ）证明曲线C与C1关于点A（t/2,s/2）对称； （Ⅲ）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=t3/4-t且t≠0。 （25）（本小题满分12分）已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145。 （Ⅰ）求数列{bn}的能项bn； （Ⅱ）设数列{an}的通项an=loga(1+1/bn)（其中a>0，且a≠1），记Sn是 数列{an}的前n项的和。试比较Sn与1/3logabn+1的大小，并证明你 的结论。 一、选择题
二、填空题 （16）16/3 （17）-5120 （18）AC⊥BD （19）①，③ 三、解答题： （20） 解：将原不等式化为 (a2-b2)x-b2≥ (a-b)2x2+2(a-b)bx+b2， ……4分 移项，整理后得 (a-b)2(x2-x)≤0， ∵a≠b 即(a-b)2>0， ∴x2-x≤0， ……7分 即 x(x-1)≤0。 解此不等式， 得解集 {x|0≤x≤1}。 ……10分 （21） 解：由正弦定理和已知条件a+c=2b得 sinA+sinC=2sinB。 ……2分 由和差化积公式 得 2(sin(A+C)/)2(cos(A-C)/2)=2sinB。 由A+B+C=π， 得sin(A+C)/2=cosB/2， 又A-C=π/3，得 ∴( ∵0<B/2<π/2, cosB/2≠0， ∴sinB/2= 从而cosB/2= ∴sinB= （22） 解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的 垂直平分线为y轴，点O 为坐标原点。 依题意 知：曲线段C是以点N为 焦点，以l2为准线的抛 物线的一段，其中A、B 分别为C的端点。 设曲 线段C的方程为 y2=2px (p>0),(xA≤x≤xB,y>0)， 其中xA,xB分别为A，B的横坐标，p=|MN|。 所以 M(-p/2,0),N(p/2,0)。 ……4分 由|AM|= (xA+p/2)2+2pxA=17， ① (xA-p/2)2+2pxA=9。 ② ……6分 由①，②两式联立得xA=4/p，再将其代 入①式并由p>0解得 p=4, xA=1； 或p=2, xA=2。 因为△AMN是锐角三角形， 所以p/2>xA，故舍去p=2, xA=2。 ∴p=4, xA=1。 由点B在曲线段C上， 得xB=|BN|-p/2=4。 综上得曲线段C的方 程式为y2=8x(1≤x≤4,y>0)。 ……12分 解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2 为x、y轴，M为坐标原 点。 作AE⊥l1， AD⊥l2，EF⊥l2，垂 足分别为E、D、F。 ……2分 设A(xA,yA)、B(xB,yB)、 N(xN,0)。 依题意有 xA=|ME|=|DA|=|AN|=3， yA=|DM|=2 三角形，故有 xN=|AE|+|EN|=4。 xB=|BF|=|BN|=6。 ……7分 设点P(x,y)是曲线段C上任一点，则由题 意知P属于集合{(x,y)|(x-xN)2=x2, xA≤x≤xB,y>0}。 ……10分 故曲线段C的方程 y2=8(x-2)(3≤x≤6,y>0)。 ……12分 （23） 解：（Ⅰ）作A1D⊥AC，垂足为D， 由面A1ACC1⊥面ABC，得 A1D⊥面ABC， ∴∠A1AD 为A1A与面ABC所成的角。 ……2分 ∵AA1⊥A1C，AA1＝A1C， ∴∠A1AD＝45°为所求。 ……4分 （Ⅱ）作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由 A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB。 ∴∠A1ED是面A1ABB1 与面ABC所成二面角的平面角。 ……6分 由已知，AB⊥BC，得ED∥BC。又D是AC的中点， BC＝2，AC＝2 tgA1ED＝A1D/DE= 故∠A1ED＝60°为所求。 ……8分 （Ⅲ）解法一：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足 为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离。 ……10分 连结HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB。 又A1E⊥AB， 知HB∥A1E，且BC∥ED， ∴∠HBC＝∠A1ED＝60°。 ∴CH＝BCsin60°＝ 解法二：连结A1B。 根据定义，点C到面A1ABB1的 距离，即为三棱锥C－A1AB的高h。 ……10分 由 V锥C－A1AB＝V锥A1－ABC得 1/2S△AA1Bh＝1/2S△ABCA1D， 即 1/3×2 ∴h= （24） 解法一：设y为流出的水中杂质 的质量分数，则y=k/ab，其中k>0为比 例系数，依题意，即所求的a,b值使y值 最小。 根据题设，有 4b+2ab+2a=60(a>0,b>0)， ……4分 得 b=30-a/2+a (0<a<30)， ① 于是 y=k/ab=k/30a-a2/2+ =k/-a+32-64/a+2 =k/34-(a+2+64/a+2) ≥k/34-2 当a+2=64/a+2时取等号， y达最小值。 ……8分 这时a=6,a=-10（舍去）。 将a=6代入①式 得b=3。 故当a为6米，b为3米时，经沉淀 后流出的水中该杂质的质量分数最小。 ……12分 解法二：依题意，即所求的a,b的值使ab最大。 由题设知 4a+2ab+2a=60 (a>0,b>0)， ……4分 即 a+2b+ab=30 (a>0,b>0)。 ∵a+2b≥2 ∴2 式取等号。 由a>0，b>0，解得0<ab≤18。 即当a=2b时，ab取得最大值， 其最大值为18。 ……10分 ∴2b2=18。解得b=3，a=6。 故当a为6米， b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质 量分数最小。 ……12分 （25） （Ⅰ）设数列{bn}的公差为d，由题意得 b1=1, 10b1+10(10-1)/2d=100。 解得 b1=1, d=2。 ∴bn=2n-1。 ……2分 （Ⅱ）由bn=2n-1，知 Sn=lg(1+1)+lg(1+1/3)+…+lg(1+1/2n-1+ =lg[(1+1)(1+1/3)×…×(1+1/2n-1)]， 1/2lgbn+1=lg 因此要比较Sn与1/2lgbn+1的大小，可先比较 (1+1)(1+1/3)×…×(1+1/2n-1)与 取n=1有(1+1)> (1+1)(1+1/3)> (1+1)(1+1/3)×…×(1+1/2n-1)> ① ……5分 若①式成立，则由对数函数性质可断定： Sn>1/2lgbn+1。 ……7分 下面用数学归纳法证明①式。 (i)当n=1时已验证①式成立。 (ii)假设当n=k(k≥1)时，①式成立，即 (1+1)(1+1/3)×…×(1+1/2k-1)> 那么，当n=k+1时， (1+1)(1+1/3)…(1+1/2k-1)(1+1/2(k+1)-1)>
∴[ =4k2+8k+4k2+8k+3)/2k+1=1/2k+1>0， ∴ 因而(1+1)(1+1/3)…(1+1/2k-1)(1+1/2k+1) > 这就是说①式当n=k+1时也成立。 由(i)，(ii)知①式对任何正整数n都成立。 由此证得：Sn=1/2lgbn+1。 ……12分 |
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/2cosB/2=sinB，
=
/4 ……9分 
/8 ……11分 
，|AN|=3得 
， 由于△AMN为锐角
=k/18， 
， 
。 
， 由此推测
。 ……8分 
]2
。 