1999年数学全国统一招生考试题(文科类)

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第II卷3至8页。共150分。考试时间120分钟。第I卷（选择题共60分）注意事项： l.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A或B）用铅笔涂　　　写在答题卡上。 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦　　　干净后。再选涂其它答案，不能答在试题卷上。 3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。参考公式：正棱台、圆台的侧面积公式三角函数的积化和差公式　　　sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2　　　cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 　　 cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2　　　sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 　　　正棱台、圆台的侧面积公式：　　　S_台侧=(c'+c)L/2　　其中c'和c表示圆台的上下底面的周长，L表示斜高或母线长。　　　台体的体积公式：

其中s,s'分别表示上下底面积，h表示高。
一. 选择题：本大题共14小题；第(1)—(1O)题每小题4分，第(11)—(14)题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选顶中，只有一顶是符合题目要求的。

（1）如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（A）（M∩P〕∩S （B）（M∩P）∪S （C〕（M∩P）∩

（D〕（M∩P）∪

（2）已知映射f：A→B，其中，集合A＝{-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是（A）4 　　　（B）5 （C）6 （D）7 （3）若函数y＝f（x）的反函数是y=g（x），f（a）=b，ab≠0，则g（b）等于（A）a 　　　（B）a^-1 　（C）b （D）b^-1 （4）函数f（x）＝Msin（ωx+ρ）（ω>0）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=-M，f（b）=M，则函数g（x）=Mcos（ωx+ρ）在[a，b]上（A）是增函数　　（B）是减函数（C）可以取得最大值M 　　（D）可以取得最小值-M （5）若f（x）sinx 是周期为∏的奇函数，则f（x）可以是（A）sinx 　　　（B）cosx （C）sin2x 　　（D）cos2x （6）曲线x²+y²+2

x-2

y=0关于（A）直线x=轴对称　　　　　（B）直线y=-x轴对称（C）点（-2，

）中心对称　　　（D）点（-

，0）中心对称（7）若干毫升水倒人底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高为6cm，若将这些水倒人轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（A）6

cm 　（B）6cm （C）2

cm 　　（D）3

cm （8）若（2x＋

）³＝a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³，则（a₀+a₂）²-（a₁+a₃）²的值为（A）-1 　　　（B）l 　　（C） 0 （D） 2 （9）直线

x＋y-2

=O截圆x²+y²=4得的劣弧所对的圆心角为（A）

　　　　（B）

　　　　　（C）

　　　　（D）

（10）如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，

EF∥AB，EF=3/2，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（A）9/2 （B）5 （C）6 （D）15/2 （11）若sina＞tga＞ctga(-

＜a＜

)，则a∈ （A）（-

，-

）（B）（-

，0）（C）（0，

）（D）（

，

）（12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R= （A）10 　　（B）15 　　　（C）20 　　（D）25 （13）给出下列曲线： ①4x+2y-1=0 ②x²+y²=3 ③x²/2+y²=1 ④x²/2-y²=1 其中与直线r＝-2x-3有交点的所有曲线是（A）①③ 　　（B）②④ 　　　（C） ①②③ 　　（D）②③④ （14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒则不同的选购方式共有（A）5种　（B）6种　　　（C）7种　　（D）8种第II卷（非选择题共90分）注意事项： 1．第II卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。二，填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线（15）设椭圆(x²/a²)+(y²/b²)＝1（a>b>0）的右焦点为F₁，右准线为l₁若过F₁且垂直于x轴的弦的长　等于点F₁到l₁的距离,则椭圆的离心率是_______ （16) 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作　物生长。要求A、B两种作物的问隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有_____种(用数字作答) （17）若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是__________ （18）α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α 　以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：　　　______________________________________________________________________ 三.解答题：本大题共6小题；共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（19）（本小题满分10分）　　　解方程

-3lgx+4=0 （20）（本小题满分12分）　　　数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a_n=5S_n-3（n∈N）求

（a_l+a₃+…+a_2n-1）的值。（21）（本小题满分12分）　　　设复数z＝3cosθ+isinθ．求函数y=tg（θ－argz）（0<θ<）的最大值以及对应的θ值（22）（本小题满分12分〕　　　如图，已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁，点E在棱D₁D上，截面EAC∥D₁B，且面EAC与底面ABCD所　　　成的角为45°，AB=a 　　　（Ⅰ）求截画EAC的面积；　　　（Ⅱ）求异面直线A₁B₁与AC之间的距离；　　　（Ⅲ〕求三棱B₁—EAC的体积。（23）（本小题满分14分）　　　下图为一台冷轧机的示意图。冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步　　　减薄后输出。　　　　　　　　　　　　

（1）输入带钢的厚度为a，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过r₀，问冷轧机至少需　　要安装多少对轧辊？　　　

（Ⅱ）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm，若第k对轧辊有缺陷, 　　　每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为Lk，为了便于检　　　修，请计算L₁、L₂、L₃并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）。

（24）（本小题满分14分）　　　如图，给出定点A（a，0）（a＞0，a≠1）和直线l：x＝-LB是直线l上的动点，∠BOA的　　　角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给了一种或几种解法供参考，如果考生的解法

与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难，

可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分解答应得分数的一半；如果后继部分的解

答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算。第（1）－第（10）题每小题4分，第（11）－（14）

题每小题5分，满分60分。

　　（1）C （2）A （3）A （4）C （5）B

　　（6）B （7）B （8）A （9）C （10）D

　　（11）B （12）D （13）D （14）C

二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分

　　（15）1/2

　　（16）12

　　（17）[9,+∞]

　　（18）m⊥a, n⊥β, a⊥β==>m⊥n 或m⊥n, m⊥a, m⊥β==>a⊥β

三．解答题

　　（19）本小题主要考查对数方程、无理方程的解法和运算能力。满分10分。

　　　解：设　(31gx-2)^1/2=y,　原方程化为

　　　　　　　y-y²+2=0. －－－－4分

　　　　　解得y=-1, y=2. －－－－6分

　　　　　因为 (31gx-2)^1/2≥0,　所以将y=-1舍去，

　　　　　由 (31gx-2)^1/2=2

　　　　　得 lgx=2,

　　　　　所以 x=100. －－－－9分

　　　　　经检验x=100为原方程的解．－－－－10分

　（20）本小题主要考查等比数列和数列极限等基础知识，满分12分。

　　解：由 Sn=a₁+a₂+…+a_n知

　　　　　　a_n=S_n-S_n-1(n≥2),

　　　　　　a₁=S₁,－－－－ 2分

　　　　由已知 a_n=5S_n-3 得

　　　　　　a_n-1=5S_n-1-3. －－－－4分

　　　　于是a_n-a_n-1=5(S_n-S_n-1)=5a_n,

　　　　所以a_n=-(a_n-1/4). －－－－6分

　　　　由 a₁=5S₁-3,

　　　　得 a₁=3/4.

　　　　所以，数列{a_n}是首项a₁=3/4，公比q=-1/4的等比数列．－－－－ 8分

　　　　由此知数列 a₁,a₃,a₅,…,a_2n-1,……是首项为 a₁=3/4, 公比为(-1/4)²的等比数列。

　　　　所以lim_n→∞(a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1)=(3/4)/[1-(-1/4)²]=4/5. 12分

　（21）本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基本知识，考查综合运用所学数学

　　　　知识解决问题的能力，满分12分。

　　解：由0<θ<π/2得tgθ>0.

　　　　由z＝3cosθ+isinθ得 tg(arg z)=sinθ/3cosθ=1/3tgθ. －－－－3分

　　　　故 y=tg(θ-arg z)

　　　　　　=(tgθ－1/3tgθ)/(1＋1/3tg²θ) －－－－6分

　　　　　　=2/[(3/tgθ)+tgθ］.

　　　　∵(3/tgθ)+tgθ≥2(3)^1/2,

　　　　∴2/[(3/tgθ)+tgθ］≤(3)^1/2/3. －－－－9分

　　　　当且仅当3/tgθ=tgθ(0<θ<π/2)时，即tgθ＝(3)^1/2时，上式取等号。

　　　　所以当θ＝π/3时，函数y取得最大值(3)^1/2／3。－－－－12分。

　（22）本小题主要考查空间线面关系，二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算

　　　　能力，满分12分。

　　　　（1）解：如图，连结DB交AC于O，连结EO。

　　　　∵底面ABCD是正方形

　　　　∴DO⊥AC。

　　　又∵ED⊥底面AC，

　　　　∴EO⊥AC。

　　　　∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角，－－－－2分

　　　　∴ ∠EOD＝45°。

　　　　DO＝(2)^1/2/2a, AC=(2)^1/2a, Eo=[(2)^1/2a·sec45°]/2=a.

　故 S_△EAC=(2)^1/2×a²/24分

　（II）解：由题设ABCD－A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，得A₁A⊥底面AC， A₁A⊥AC。

　　　　　　又 A₁A⊥A₁B₁，

　　　　　　∴A₁A是异面直线A₁B₁与AC间的公垂线。－－－－6分

　　　　　　∵D₁B∥面EAC，且面D₁BD与面EAC交线为EO，

　　　　　　∴ D₁B∥EO。

　　　　　　又 O是DB的中点，

　　　　　　∴E是D₁D的中点， D₁B＝2ED＝2a。

　　　　　　异面直线A₁B₁与AC间的距离为(2)^1/2a。－－－－8分

　(III)解法一：如图，连结D₁B₁。

　　　　　　　∵D₁D＝DB＝(2)^1/2a，

　　　　　　　∴BDD₁B₁是正方形。

　　　　　　　连结B₁D交D₁B于P，交EO于Q。

　　　　　　　∵B₁D⊥D₁B。 EO∥D₁B，

　　　　　　　∴B₁D⊥EO

　　　　　　　又 AC⊥EO， AC⊥ED，

　　　　　　　∴AC⊥面BDD₁B₁

　　　　　　　∴B₁D⊥AC

　　　　　　　∴B₁D⊥面EAC。

　　　　　　　∴B₁Q是三棱锥B₁－EAC的高。－－－－10分

　　　　　　　由DQ＝PQ，得B₁Q＝3B₁D/4＝3a/2。

　　　　　　　∴V_B1－EAC＝(1/3)·[(2)^1/2a²/2]·(3/20=(2)^1/2·a³/4.

　　　　　　　所以三棱锥了－EAC的体积是(2)^1/2·a³/4. －－－－12分

解法二：连结B₁O，则VB₁－EAC＝2VA－EOB₁。

　　∵AO⊥面BDD₁B₁，

　　∴AO是三棱锥A－EOB₁的高，AO＝(2)^1/2·a/2

　　在正方形BDD₁B₁中，E、O分别是D₁D、DB的中点（如右图），

　　则S_△EOB1=3a²/4.

　　∴VB₁-EAC=2×(1/30×(3a²/4)×[(2)^1/2a/2}=(2)^1/2·a³/4.

　　所以三棱锥B₁－EAC的体积是(2)^1/2·a³/4.－－－－12分。

（23）本小题主要考查等比数列，对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决实际问题

　　　的能力，满分14分。

　　（I）解：厚度为a的带钢经过减薄率均为ro的n对轧辊后厚度为a(1-ro)n.

　　　　　　为使出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足

　　　　　　a(1-r_o)ⁿ≤β，

　　　　　　即 (1-r_o)ⁿ≤β/a 　－－－－4分

　　　　　　由于(1-r_o)ⁿ>O, β/a>0,对上式两端取对数，得

　　　　　　nlg(l-r_o)≤lg(β/a).

　　　　　　由于lg(1-r_o)<0,

　　　　　　所以n≥(lgβ-lga)/[lg(1-r_o)].

　　　　　　因此，至少需要安装不小于(lgβ-lga)/[lg(1-r_o)]的整数对轧辊－－－－7分

　（II）解法一：第k对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为

　　　　　　　　1600a×(1-r)^k×宽度（其中r＝20％），

　　　　　　　　而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为

　　　　　　　　L_k×a(1-r)⁴×宽度。

　　　　　　　　因宽度相等，且无损耗，由体积相等得

　　　　　　　　1600·a(1-r)^k=L_k·a(1-k)⁴(r=20%),

　　　　　　　　即 L_k=1600·0.8^K-4. －－－－10分

　　　　　　　　由此得 l₃=2000(mm),

　　　　　　　　　　　 l₂=2500(mm),

　　　　　　　　　　　 l₁=3125mm)

　　　填表如下：

轧辊序号K	1	2	3	4
疵点间距LK（mm）	3125	2500	2000	1600

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－－－－14分

解法二：第3对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点

　　　　间带钢体积相等，因宽度不变，有：

　　　　1600=L₃·(1-0.2),

　　　　所以 L₃=1600/0.8=2000(mm). －－－－10分

　　　　同理 L₂=L₃/0.8=2500(mm).

　　　　　　 L₁=L₂/0.8=3125(mm).

　　　　填表如下：

轧辊序号K	1	2	3	4
疵点间距LK（mm）	3125	2500	2000	1600

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－－－－14分

（24）本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合

　　　运用数学知识解决问题的能力。满分14分。

　　　解法一：依题意，记B（－1，b）（b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y＝0和y＝－bx，

　　　　　　　设点C（x,y），则有0≤x<a,由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等，根据点到直线

　　　　　　　的距离公式得

　　　　　　　　　|y|=|y+bx|/ ① －－－－4分

　　　　　　　依题设，点C在直线AB上，故有

　　　　　　　　　y=[-b/(1+a)](x-a). －－－－6分

　　　　　　　由 x-a≠0，得b=-(1+a)y/(x-a). ②

　　　　　　　将②式代入①式得

　　　　　　　　　y²[1+(1+a)²y²/(x-a)²]=[y-(1+a)xy/x-a]²,

　　　　　　　　整理得

　　　　　　　　　y²[(1-a)x²-2ax+(1+a)y²]=0. －－－－9分

　　　　　　　若y≠0，则(1-a)x²-2as+(1+a)y²=0(0<x<a);

　　　　　　　若y=0,则 b=0,∠AOB＝π，点C的坐标为（0，0），满足上式，

　　　　　　　综上得点C的轨迹方程为

　　　　　　　　　(1-a)a²-2ax+(1+A)y²=0(0≠x<a), －－－－10分

　　　　　　　∵a≠1,

　　　　　　　∴[x-a/(1-a)]²/[a/(1-a)]²+y²/[a²/(1-a²)]=1(0≤x<a). ③ －－－－12分

　　　　　　　由此知，当〔」「工时，方程③ 表示椭圆孤段；

　　　　　　　当a>1时，方程③ 表示双曲线一支的弧段。－－－－14分

　　　解法二：如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足。

　　　　　　（1）当|BD|≠0时，设点C（x,y），则0<x<a y≠0.

　　　　　　　　由CE∥BD得 |BD|=|CE|·|DA|/|EA|=|y|/a-x(1+a). －－－－3分

　　　　　　　∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD,

　　　　　　　∴2∠COA=π-∠BOD，

　　　　　　　∵ tg(2COA)=2tg∠COA/(1-tg²∠COA), tg(π-∠BOD)=-tg∠BOD,

　　　　　　　　　tg∠COA=|y|/x, tg∠BOD = ∠|BD|/|OD|=|y|/a-x(1+a).

　　　　　　　∴[2·|y|/x]/[1-(y²/x²)]=[|y|/(a-x)](1+a),

　　　　　　　整理得 (1-a)x²-2ax+(1+a)y²=0(0<x<a).

　　　　　　(II) 当|BD|=0时，∠BOA＝π，则点C的坐标为（0，0），满足上式。

　　　　　　综合（I）（II），得点C的轨迹方程为

　　　　　　　　（1-a)x²-2ax+(1+a)y²=0(0≤x<a) －－－－10分

　　　　　　　以下同解法一。

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