一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后的括号内.

 (1)log₈⁹/log₂³的值是：(　)
　　(A)2/3　　　　　　　　(B)1　　　　　　　　(C)3/2　　　　　(D)2　　　

 (2)如果函数y＝sin(ωx)cos(ωx)的最小正周期是4π,那么常数ω为：(　)

　　(A)4　　　　　　　　　(B)2　　　　　　　　(C)1/2　　　　　  (D)1/4

 (3)极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是：(　)

　　(A)2　　　　　　　　　(B)　　　　　　　 (C)1　　　　　　(D)/2

 (4)方程sin4xcos5x＝-cos4xsin5x的一个解是：(　)

　　(A)10°　　　　　　　　(B)20°　　　　　　 (C)50° 　　　　(D)70°

 (5)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等,则圆柱的全面积与球的表面积的比是：(　)

　　(A)6:5　　　　　　　　 (B)5:4　　　　　　　 (C)4:3　　　　 (D)3:2

 (6)图中曲线是幂函数y＝xⁿ在第一象限的图像，已知n取2、-2、1/2、-1/2四个值,则相应于曲线C₁、C₂、C₃、C₄的n依次为：(　)

　　　　　　　　　　　　　　

　　(A)-2,-1/2,1/2,2　　　　　　　　　　　　　　(B)2,1/2,-1/2,-2

　　(C)-1/2,-2,2,1/2　　　　　　　　　　　　　　(D)2,1/2,-2,-1/2

 (7)若log_a²<log_b²<0,则：(　)

　　(A)0<a<b<1　　　　　　　　　　　　　　　　　(B)0<b<a<1

　　(C)a>b>1　　　　　　　　　　　　　　　　　　(D)b>a>1

 (8)(t为参数)的倾斜角是：(　)

　　(A)20°　　　　　　　　(B)70°　　　　　　　(C)110°　　　　　　　(D)160°

 (9)在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有：(　)

　　(A)1个　　　　　　　　(B)2个　　　　　　　　(C)3个　　　　　　　　(D)4个.

(10)圆心在抛物线y²=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是：(　)

　　(A)x²＋y²－x－2y－1/4＝0　　　　　　　　　　(B)x²＋y²＋x－2y＋1＝0

　　(C)x²＋y²－x－2y＋1＝0 　　　　　　　　　　 (D)x²＋y²－x－2y＋1/4＝0

(11)在(x²+3x+2)⁵，的展开式中x的系数为：(　)

　　(A)160　　　　　　　　(B)240　　　　　　　　(C)360　　　　　　　　(D)800.

(12)若0<a<1,在[0,2π]上满足sinx≥a的x的范围是：(　)

　　(A)[0,arcsina]　　　　　　　　　　　　　　　(B)[arcsina,π-arcsina].

　　(C)[π-arcsina ，π]　　　　　　　　　　　　(D)[arcsina，π/2＋arcsina]

(13)已知直线l₁和l₂夹角的平分线为y＝x,如果l₁的方程是ax+by+c=0(ab>0),那么l₂的方程是：(　)

　　(A)bx+ay+c=0　　　　　　　　　　　　　　　　(B)ax-by+c=0.

　　(C)bx+ay-c=0　　　　　　　　　　　　　　　　(D)bx-ay+c=0.

(14)在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M和N分别为A₁B₁和BB₁的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是：(　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　


　　　　　　　　　　　　　　　　　(C)3/5　　　　　　　(D)2/5

(15)已知复数z的模为2,则│z-i│的最大值为：(　)

　　(A)1　　　　　　　　　(B)2　　　　　　　　　(C)　　　　　　　(D)3

(16)函数y＝(e^x－e^-x)/2的反函数是：(　)

　　(A)是奇函数,它在(0,+∞)上是减函数.

　　(B)是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数.

　　(C)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数.

　　(D)是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数.

(17)如果函数f(x)=x²+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么：(　)

　　(A)f(2)<f(1)<f(4)　　　　　　　　　　　　(B)f(1)<f(2)<f(4).

　　(C)f(2)<f(4)<f(1)　　　　　　　　　　　　(D)f(4)<f(2)<f(1).

(18)长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为：(　)

　　(A)　　　　　　　　　　　　　　　　　 (B)

　　(C)5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(D)6.

二、填空题:把答案填在题中横线上.

(19)方程(1＋3^-x)/(1＋3^x)＝3的解是_____。

(20)sin15°sin75°的值是____________。

(21)设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的___________。

(22)焦点为F₁(-2,0)和F₂(6,0),离心率为2的双曲线的方程是___________。

(23)已知等差数列{a_n}的公差d≠0,且a₁,a₃,a₉成等比数列,则(a₁＋a₃＋a₉)/(a₂＋a₄＋a₁₀)的值________。

三、解答题:解答应写出文字说明、演算步骤.

(24)已知z∈c,解方程：

(25)已知π/2＜β＜α＜3π/4，cos(α－β）＝12/13，sin(α＋β)＝3/5，求sin2α的值。

(26)已知：两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA1的长度为d。在直线a、b上分别取点E、F,　　设A1E=m，AF=n
　　　　　　　　　　　　　　

(27)设等差数列{a_n}的前n项和为S_n.已知a₃=12,S₁₂>0,S₁₃<0。

　　(Ⅰ)求公差d的取值范围。

　　(Ⅱ)指出S₁,S₂,…,S₁₂中哪一个值最大,并说明理由。

(28)已知椭圆(x²/a²)＋(y²/b²)＝1(a＞b＞0),A,B是椭圆上的两点，线段AB垂直平分线与x轴交于点P(X₀,0)

　　证明：－(a²－b²)/a＜x₀＜(a²－b²)/a


　　　　　　　　　　　　　　　　1992年试题(理工农医类)答案

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。

　　(1)A　　　　(2)D　　　　(3)D　　　　(4)B　　　　(5)D

　　(6)B　　　　(7)B　　　　(8)C　　　　(9)D　　　　(10)D

　　(11)B　　　(12)B　　　　(13)A　　　(14)D　　　　(15)D

　　(16)C　　　(17)A　　　　(18)C

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。

　　(19)x＝－1　　　　　　　(20)1/4　　　　　　　(21)15/128

　　(22)[(x－2)²/4]－[y²/12]＝1　　　　　　　　　　(23)13/16

三、解答案

(24)本小题考查复数相等的条件及解方程的知识.

　　解:设z=x+yi(x,y∈R).

　　将z=x+yi代入原方程,得

　　　　　　　　(x＋yi)(x－yi)－3i(x－yi)=1＋3i,

　　整理得

　　　　　　　　x²＋y²－3y－3xi=1＋3i.

　　根据复数相等的定义,得

　　　　　　　　

　　由①得　　　x＝-1.

　　将x=-1代入②式解得y＝0，y＝3.

　　∴z₁=-1，z₂=-1+3i.

(25)本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力.

　　解:由题设知α-β为第一象限的角，

　　　　　　　

　　由题设知α+β为第三象限的角，

　　　　　　　

　　　　∴ sin2α＝sin[(α-β)+(α+β)]

　　　　　　　　 ＝sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)

　　　　　　　　 ＝[(5/13)×(－4/5)]＋[(12/13)×(－3/5)]

　　　　　　　　 ＝－56/65

(26)本小题考查空间图形的线面关系,空间想象能力和逻辑思维能力.

　　解法一:设经过b与a平行的平面为α,经过a和AA1的平面为β,α∩β=c,则c∥a.因而b,c所成的角等于

　　θ,且AA1⊥c(如图)。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　∵ AA1⊥b, ∴ AA1⊥α.

　　根据两个平面垂直的判定定理,β⊥α.

　　在平面β内作EG⊥c,垂足为G,则EG=AA1.并且根据两个平面垂直的性质定理,EG⊥α.连结FG,则EG⊥FG.

　　在Rt△EFG中,EF2=EG²+FG²。

　　　　　　　　∵ AG=m,

　　∴在△AFG中,

　　FG²=m²+n²-2mncosθ.

　　　　　　　　∵ EG²=d²,

　　　　　　　　∴ EF²=d²+m²+n²-2mncosθ.

　　如果点F(或E)在点A(或A1)的另一侧,则

　　　　　　　　EF²=d²+m²+n²+2mncosθ.

　　因此　　　　

　　解法二:经过点A作直线c∥a,则c、b所成的角等于θ,且AA1⊥c.

　　根据直线和平面垂直的判定定理,AA1垂直于b、c所确定的平面a.

　　在两平行直线a、c所确定的平面内,作EG⊥c,垂足为G,则EG平行且等于AA1，从而EG⊥α。

　　连结FG,则根据直线和平面垂直的定义,EG⊥FG.

　　在Rt△EFG中,EF²=EG²+FG²。

　　(以下同解法一)

(27)本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力。

　　(Ⅰ)解：依题意，有：

　　　　　　　　　　S₁₂＝12a₁＋[12×(12－1)/2]×d＞0

　　　　　　　　　　S₁₃＝13a₁＋[13×(13－1)/2]×d＜0

　　　　　即：　　　　　


　　由a₃=12,得

　　a₁=12-2d. ③

　　将③式分别代①、②入，得：

　　　　　　　　　　

　　所以：(－24/7)＜d＜(－3)

　　(Ⅱ)解法一:由d<0可知

　　a₁>a₂>a₃>…>a₁₂>a₁₃

　　因此，若1≤n≤12在中存在自然数n,使得a_n>0，a_n+1<0，

　　则S_n就是S₁,S₂,…,S₁₂中的最大值。

　　由于 　　S₁₂＝6(a₆+a₇)>0，

　　　　　　 S₁₃＝13a₇<0，

　　即 a₆+a₇>0，

　　　　a₇<0.

　　由此得 a₆>-a₇>0.

　　因为 a₆>0,a₇<0,

　　故在S₁,S₂,…,S₁₂中S₆的值最大.

　　(Ⅱ)解法二:

　　　　　　　　　　s_n＝na₁＋[n(n－1)d/2]

　　　　　　　　　　　＝n(12－2d)＋n(n－1)/2

　　　　　　　　　　　＝d[n－(5－24/d)/2]²/2－d[(5－24/d)/2]²/2

　　∵ d<0,

　　∴[n－(5－24/d)/2]²最小时，S_n最大，

　　当(－24/7)＜d＜(－3)时，6＜(5－24/d)/2＜6.5

　　∵正整数n＝6时，[n－(5－24/d)/2]²最小；

　　∴ S₆最大.

　　(Ⅱ)解法三:

　　由d<0可知 a₁>a₂>a₃>…>a₁₂>a₁₃.

　　因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an>0,a_n+1<0,

　　则S_n就是S₁,S₂,…,S₁₂中的最大值。

　　
　　　　　　

　　故在S₁,S₂,…,S₁₂中S₆的值最大.

(28)本小题考查椭圆性质、直线方程等知识,以及综合分析能力.

　　证法一:设A、B的坐标分别为(x₁,y₁)和(x₂,y₂).因线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB不平行于y轴,即

　　x₁≠x₂.又交点为P(x₀,0),故│PA│=│PB│,即

　　∵ A、B在椭圆上,
　　∴
　　　　　　　　

　　将上式代入①,得

　　　　　　　　

　　∵ x₁≠x₂,可得

　　　　　　　　x₀＝(x₁＋x₂)×(a²－b²)/a²

　　∵ -a≤x₁≤a,-a≤x₂≤a,且x₁≠x₂,

　　∴ -2a<x₁+x₂<2a,

　　∴－(a²－b²)/a＜x₀＜(a²－b²)/a

　　证法二:设A、B的坐标分别为(x₁,y₁)和(x₂,y₂).因P(x₀,0)在AB的垂直平分线上,以点P为圆心,│PA│=r

　　为半径的圆P过A、B两点,圆P的方程为：

　　　　　　　　　　　　　　　(x-x₀)²+y₀=r²，

　　与椭圆方程联立,消去y得：

　　

　　因A、B是椭圆与圆P的交点,故x₁,x₂为方程①的两个根。由韦达定理得：

　　　　　　　　x₁+x₂＝2a²x₀/(a²－b²⁾

　　因-a≤x₁≤a,-a≤x₂≤a,且x₁≠x₂,故：