一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。把所选项前的字母填在题后括号内。

(1)如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率为：

　　(A)/2　　　　　　(B)/2　　　　　　(C)3/2　　　　　　(D)2

(2)函数的最小正周期是：

　　(A)π/4　　　　　　(B)π/2　　　　　　 (C)π　　　　　　　(D)2π

(3)当圆锥的侧面积和底面积的比值是时，圆锥的轴截面顶角是：

　　(A)45°　　　　　　(B)60°　　　　　　　(C)90°　　　　　　　(D)120°

(4)当z=-[(1-i)/]时，z¹⁰⁰+z⁵⁰+1的值等于：

　　(A)1　　　　　　　(B)-1　　　　　　　　(C)i　　　　　　　 (D)-i

(5)直线bx+ay=ab(a＜0。b＜0)的倾斜角是

　　(A)arctg(-b/a)　　(B)arctg(-a/b)　 　　(C)π-arctg(-b/a)　(D)π-arctg(a/b)

(6)在直角三角形中两锐角为A和B。则sinAsinB

　　(A)有最大值1/2和最小值0　　　　　　　　(B)有最大值1/2但无最小值

　　(C)既无最大值也无最小值　　　　　　　　(D)有最大值1。但无最小值

(7)在各项均为正数的等比数列{an}中。若a5a6=9。则log3a1+log3a2+…+log3a10=

　　(A)12　　　　　　　(B)10　　　　　　　　(C)8　　　　　　　　(D)2+log35

(8)F(x)=[1+2/(2^x-1)]f(x)(x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)

　　(A)是奇函数　　　　　　　　　　　　　　　(B)是偶函数

　　(C)可能是奇函数也可能是偶函数　　　　　　(D)不是奇函数也不是偶函数

(9)曲线的参数方程为(0≤t≤5)，则曲线是：

　　(A)线段　　　　　　(B)双曲线的一支　　　(C)圆弧　　　　　　(D)射线

(10)若a、b是任意实数，且a＞b，则：

　　(A)a²＞b²　　　　　(B)b/a＜1　　　　　　(C)lg(a-b)＞0　　　(D)(1/2)^a＜(1/2)^b

(11)已知集合E={θ│cosθ＜sinθ。0≤θ≤2π}。F={θ│tgθ＜sinθ}。那么E∩F为区间：

　　(A)(π/2。π)　　　 (B)(π/4。3π/4)　　　(C)(π。3π/2)　　　(D)(3π/4。5π/4)

(12)一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切。则动圆圆心的轨迹为：

　　(A)抛物线　　　　　(B)圆　　　　　　　　(C)双曲线的一支　　(D)椭圆

(13)若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是：

　　(A)三棱锥　　　　　(B)四棱锥　　　　　　(C)五棱锥　　　　　(D)六棱锥

(14)如果圆柱轴截面的周长l为定值。那么圆柱体积的最大值是：

　　(A)(l/6)³π　　　　(B)(l/3)³π　　　　　(C)(l/4)³π　　　　(D)(1/4)(l/4)³π

(15)由(x+³)¹⁰⁰展开的得的x多项式中，系数为有理数的共有：

　　(A)50项　　　　　　(B)17项　　　　　　　(C)16项　　　　　　(D)15项

(16)设a。b。c都是正数。且3^a=4^b=6^c。那么

　　(A)1/c=1/a+1/b　　 (B)2/c=2/a+1/b　　　 (C)1/c=2/a+2/b　　 (D)2/c=1/a+2/b

(17)同室四人各写一张贺年卡，先集中起来。然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡。则四张贺年卡不同的分配方式有

　　(A)6种　　　　　　 (B)9种　　　　　　　 (C)11种　　　　　　(D)23种

(18)已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a，b所成的角都是30°的直线有且仅有

　　(A)1条　　　　　　 (B)2条　　　　　　　 (C)3条　　　　　　 (D)4条

二、填空题：把答案填在题中横线上。

(19)抛物线y²=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点AB的距离为________。

(20)在半径为30m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120°。

若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为______m(精确到0.1m)。

(21)在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共___种(用数字作答)。

(22)建造一个容积为8m³，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，

那么水池的最低总造价为________元。

(23)设f(x)=4^x-2^x+1，则f^-1(0)=________。

(24)已知等差数列(a_n)的公差d＞0，首项a₁＞0， 则=____________。

三、解答题：解答应写出文字说明、演算步骤。

(25)解不等式2+log_1/2(5-x)+log2_1/x＞0。

(26)如图，A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，过点A₁、B、C₁的平面和平面ABC的交线记作l。

　　(Ⅰ)判定直线A₁C₁和l的位置关系，并加以证明；

　　(Ⅱ)若A1A=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，求顶点到直线l的距离。

(27)在面积为1的△PMN中，tgM=1/2，tgN=-2，建立适当的坐标系，求出以M，N为焦点且过点P的椭圆方程。

(28)设复数z=cosθ+isinθ(0＜θ＜π)，，已知|ω|=/3，argω=π/2，求θ。

(29)已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α，β。证明：

　　(Ⅰ)如果│α│＜2，│β│＜2，那么2│α│＜4+b且│b│＜4；

　　(Ⅱ)如果2│α│＜4+b且│b│＜4，那么│α│＜2，│β│＜2。

1993年试题(理工农医类)答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

(1)C　　 (2)B　　 (3)C　　 (4)D　　 (5)C　　 (6)B　　 (7)B　　 (8)A　　 (9)A

(10)D　　(11)A　　(12)C　　(13)D　　(14)A　　(15)B　　(16)B　　(17)B　　(18)B

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。

(19)2　　　　　　 (20)17.3　　　　　(21)4186

三、解答题。

(25)本小题考查对数函数的概念及性质，不等式的解法。

　　解：原不等式等价于：

　　　　　，　　解得：

　　　　所以原不等式的解集为：{x|0＜x＜1}∪{x|4＜x＜5}。

(26)本小题主要考查空间图形的线面关系、三棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力。

　　解：(Ⅰ)l∥A₁C₁。证明如下：

　　　　根据棱柱的定义知平面A₁B₁C₁和平面ABC平行。

　　　　由题设知直线A₁C₁=平面A₁B₁C₁∩平面A₁BC₁，直线l=平面A₁BC₁∩平面ABC。

　　　　根据两平面平行的性质定理有l∥A1C1。

　　(Ⅱ)解法一：

　　　　过点A₁作A₁E⊥l于E，则A₁E的长为点A₁到l的距离。

　　　　连结AE。由直棱柱的定义知A₁A⊥平面ABC。

　　　　∴直线AE是直线A₁E在平面ABC上的射影。

　　　　又l在平面ABC上，根据三垂线定理的逆定理有：AE⊥l。

　　　　由棱柱的定义知A₁C₁∥AC，又l∥A₁C₁，

　　　　∵l∥AC。

　　　　作BD⊥AC于D，则BD是Rt△ABC斜边AC上的高，且BD=AE，

　　　　从而AE=BD=(AB×BC)/AC=(4×3)/5=12/5，

　　　　在Rt△A₁AE中，

　　　　∵A₁A=1，∠A₁AE=90°，

　　　　∴A₁E==(12/5)²+1²=13/5，

　　　　故A₁到直线的距离为13/5。

　　解法二：

　　　　同解法一得l∥AC。

　　　　由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE，从而有Rt△ABC∽Rt△BEA，AE：BC=AB：AC，

　　　　∴AE=(AB×BC)/AC，

　　　　以下同解法一。

(27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用的能力。

　　解法一：建立直角坐标系如图：以MN所在直线为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴。

　　　　设所求椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1，分别计M、N、P点的坐标为(-c，0)、(c，0)和(x₀，y₀)。

　　　　∵tgα=tg(π-∠N)=2，

　　　　∴由题设知

　　　　　解得　即P((5/3)c，(4/3)c)

　　解法二：

　　　　同解法一得c=/2，即P(5/6，2/3)，

　　　　∵点P在椭圆上，且a²=b²+c²，

　　　　∴

　　　　解得b²=3，或b²=-1/3(舍去)。

　　　　a²=b²+c²=15/4

　　　　故所求椭圆方程为4x²/15+y²/3=1。

(28)本小题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力。

　　解：

　　　　|ω|=|tg2θ|·|sin4θ+icos4θ|=|tg2θ|=/3。

　　　　因0＜θ＜π，故有

　　(Ⅰ)tg2θ=/3时，得θ=π/12或θ=7π/12，这时都有

　　　　ω=/3(cosπ/6+isinπ/6)，

　　　　得argω=π/6＜π/2，适合题意。

　　(Ⅱ)当tg2θ=-/3时，得θ=5π/12或θ=11π/12，这时都有

　　　　ω=/3(cos11π/6+isin11π/6)，

　　　　得argω=11π/6＞π/2，有合题意，舍去。

　　　　综合(Ⅰ)、(Ⅱ)可知θ=π/12或θ=7π/12。

(29)本小题考查一元二次方程根与系数的关系，绝对值不等式的性质和证明；逻辑推理能力和分析

问题、解决问题的能力。

　　证法一：

　　　　依题设，二次方程有两个实根α，β，所以判别式△=a2-4b≥0。

　　　　不妨取α=1/2(-a-)，β==1/2(-a+)

　　(Ⅰ)∵　α＜2，β＜2。

　　　　∴b=|αβ|=|α|·|β|＜4

　　　　且-2＜1/2(-a-)＜1/2(-a+)＜2

　　　　0≤＜4-a，0≤＜4+a

　　　　平方得　　a2-4b＜16-8a+a2，a2-4b＜16+8a+a2，

　　　　由此得　　-4(4+b)＜8a＜4(4+b)，

　　　　∴2│a│＜4+b。

　　(Ⅱ)∵2│a│＜4+b，│b│＜4，

　　　　∴|a|=1/2(4+|b|)＜4

　　　　4±a＞0；

　　　　且　　△=a2-4b＜a2-4(2│a│-4)

　　　　　　　　=a2±8a+16=(4±a)2，

　　　　又　　△≥0，

　　　　∴＜4±a

　　　　得-4＜-a-≤-a+＜4，

　　　　∴　　-2＜α≤β＜2，

　　　　得　　│α│＜2，│β│＜2。

　　证法二：

　　(Ⅰ)根据韦达定理│b│=│αβ│＜4。

　　　　因为二次函数f(x)=x2+ax+b开口向上，│α│＜2，│β│＜2。

　　　　故必有f(±2)＞0，

　　　　即4+2a+b＞0，2a＞-(4+b);

　　　　4-2a+b＞0，2a＜4+b。

　　　　∴2│a│＜4+b。

　　(Ⅱ)由2│a│＜4+b得4+2a+b＞0即22+2a+b＞0，f(2)＞0。　　①

　　　　及4-2a+b＞0即(-2)2+(-2)a+b＞0，f(-2)＞0。　　　　　②

　　　　由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间(-2，2)之内或者在(-2，2)之外。若两根α，β均

　　　　落在(-2，2)之外，则与│b│=│αβ│＜4矛盾。

　　　　若α(或β)落在(-2，2)外，则由于│b│=│αβ│＜4，另一个根β(或α)必须落在(-2，

　　　　2)内，则与①、②式矛盾。

　　　　综上所述α，β均落在(-2，2)内。

　　　　∴│α│＜2，│β│＜2。