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第七届北京高中数学知识应用竞赛初赛

考试形式为开卷,12月12日16:00开始,12月15日8:00准时交卷.

一、（满分16分）SARS（严重急性呼吸综合症，俗称非典型性肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的疾病。今年春天在我国多处爆发和蔓延，给我国的经济发展和人民的生活带来很大影响。下面是北京、广东和香港三地已确症病例逐日累计的统计数据。

（1）请你在坐标纸上（或使用计算机、图形计算器）绘出三个地区SARS传播情况的逐日累计病例的动态图；

（2）你能根据动态图得到哪些信息？

表格见book2.Xls

二、（满分16分）2003年10月15日，我国自行研制的“神州”五号载人飞船成功遨游太空21小时后顺利返回地面，实现了中国人的飞天梦。

       “神州”五号载人飞船运行期间，首先按近地点200公里、远地点350公里的椭圆轨道飞行，然后变轨在地球上空343公里的圆形轨道上飞行，共绕地球飞行14圈。

（1）       试写出椭圆轨道的标准方程及在同一坐标系中圆形轨道的方程；

（2）       将飞船全程运行轨道近似地当作圆，计算出飞船行驶的公里数。

三、（满分16分）表一和表二分别是中国银行公布的2003年10月13日人民币与美元、港币的牌价和这两种外币存款利率，

将1万元人民币兑换成美元或港币（只限一种），存入银行2年，直至到期后再兑换成人民币，如果外汇牌价不变，哪种方式获利最大？

表1	人民币元/100外币
	现钞买入价	现钞卖出价
美元 港币	821.48000 105.74000	828.93000 106.7000

表2	年率％
	一年	二年
美元 港币	0.5625 0.8125	0.6875 0.8750

四、（满分16分）某地的粮食收购部门计划购进一批小麦、玉米和稻谷。有两种购粮方案。

方案甲是：购进同等款额的小麦、玉米和稻谷；方案乙是：购进同等重量的小麦、玉米和稻谷。如果我们认为购买三种粮食的平均价格低的方案是比较好的，请你判断上述的两个购粮方案中哪个比较好？证明你的结论。

五、（满分18分）小伟和小明两人来到冷饮店，他们买了一杯牛奶和一杯咖啡，各150ml，每个杯子的容积为200ml，甲杯盛牛奶，乙杯盛咖啡，想将二者混合，兑成近乎相同的奶咖啡。没有其它容器，只得利用两个杯子中的剩余空间倒来倒去，使其混合。

       规定：将乙杯里的部分饮料倒入甲杯中，使甲杯盛满饮料，充分搅匀，再将甲杯里的部分饮料倒入乙杯中，使两杯中饮料量相等，充分搅匀，这叫完成一次操作。

       请回答下列问题:

（1）       一次操作后甲杯饮料中牛奶体积百分比是多少?

（2）       求第n次操作后甲杯饮料中牛奶体积百分比的数学表达式。

（3）       至少几次操作后可以使甲杯饮料中牛奶体积百分比不超过51％？

（4）       你能否设计新的规定，得到更优的方案，以减少操作次数？

六（满分18分）在一个国际会议上，做报告的德国教授拿起一张A4（210×297毫米）纸，一边折叠一边说：“我们按下面（图1－图3）的方法，就可以折出一个五边形”，他问：“这个五边形是正五边形吗？”。

请你做下列问题：

C

A

B

E

F

D

判断图3中的DMNQR是不是正五边形，试说明理由；如果不是正五边形，能否找出一中适当的矩形纸，使得按上述的方法折出的五边形是正五边形，并说明理由。如果有能力证明，请将证明写出。

B

C

D

 

F

E

A

         (B、D重合)                             （E、F重合对折再打开，折痕DH）

          图1                                                                图2

（AE、CF重合在DH上）

          图3