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| 关于排列与组合教学的两点见解 | |||||||||||||||||||
| 作者：李迪淼 文章来源：本站原创 点击数： 更新时间：2004-3-12 | |||||||||||||||||||
| 中学课本中关于排列与组合的内容虽然不多，但处理这类问题的思考和解答方式独特，抽象概括程度高而结果又不易验算，因此一向认为这一单元是中学数学教学中较难教好学好的部分。 为着突破这一难关，笔者进行了一些尝试与探索，积经验与教训，形成以下两点见解，今不揣浅陋，披露于此，权作引玉之砖。 一、要切实加强两个基本原理的教学 加法原理与乘法原理作为“排列与组合”单元中的基本原理，不仅起着理论上的奠基的作用，而且作为一种解题方法，它还贯穿于整节内容的始终。因此，它理应成为我们重点把握的教学内容。然而，由于两个基本原理内容不多，“教参”中所分配的课时较少(约两课时)，因而容易将此关键内容一带而过，而把主要精力和大量时间花在“排列”与“组合”概念以及排列数与组合数公式的记忆与应用之上。孰不知，“排列”问题与“组合”问题只不过是利用两个基本原理来解决的两个特殊的计数问题，而大量的问题（包括现实问题和有关习题以及近几年来的高考题）并不单纯是教材中所定义的“排列”、“组合”问题。即便是教材中所定义的“排列”、“组合”问题，利用其计算公式也只不过是减少了计算步骤和可以利用符号“Pnm”或“Cnm”表示结果而减少了一点计算量而已。 那么，如何切实做到加强两个基本原理的教学呢?我认为应从以下三个方面入手: 1.加强引入. 首先，应通过对一系列实际问题的分析讲解后，让学生们先用他们自己的语言归纳概括出这两个基本原理，然后再与课本相对照，进一步完善和精炼语句。由此调动学生的自主探索精神，培养学生的抽象概括能力。 其次，要讲清“这两个原理的真确性由什么来保证”的问题，使学生形成或强化“数学来源于实践又服务于实践”的辩证唯物主义观点。 2.加强辩析. 要用对比的手法分清两个基本原理的条件和结论，比较出它们的异同。要让学生弄懂弄通什么叫做“完成了一件事”，什么叫“分步”，什么叫“分类”，什么情况下要分步，什么情况下要分类等问题，为正确应用两个基本原理打下坚实的基础。 3.加强应用. 除了认真完成课本上的例子和练习外，还应适当补充有关“可重复”与“不允许重复”以及“步中有类”“类中有步”这些交叉型的问题。例如 例1.(1)用0～9这十个数字组数，问一共可以组成多少个不同的含有七个数字的彩票号码?(提示:彩票号码中首位数字可以是0，且其中数字可以重复) (2)一个小学生用十块分别写有0～9这十个数之一的硬纸片拼组数，问一共可以组成多少个不同的七位数(其中“6”倒置可作“9”用,“9”倒置可作“6”用)? 例2.连续射击n次，把每次命中与否按顺序记录下来，问可能出现多少种不同的结局? 解法1.按射击的次数分n个步骤，每射击一次，无非就是“中”与“不中”两种可 能，因而由乘法原理知共有2n 种不同的结局; 解法2.按命中的可能结果分为n+1类，即命中0次，1次，2次，…，n次，显然分别有Cn0，Cn1，Cn2，…，Cnn 种可能结果，因而根据加法原理知共有Cn0+Cn1+Cn2+ …+Cnn 种不同的结局。（注:该解法2只有在学习了组合知识以后才会用) 例3.今有壹角币一张，贰角币一张，伍角币一张，壹圆币两张，伍圆币两张，用这些人民币可以组成多少种不同数额的款子? 解法1.分五个步骤:(1)取“壹角”币，有两种方法，即“取一张”或“不取”; (2)取币，同样有两种方法; (3)取“伍角”币，同样有两种方法; (4)取“壹圆”币，有三种方法，即“取一张”、“取两张”或“不取”; (5)取“伍圆”币，同样有三种方法. 故由乘法原理知共有 2×2×2×3×3种取法.而由“壹角”“贰角”“伍角”“壹圆”“伍圆”这些币值的特殊性，可知每一种“取法”对应着一款“数额”，且不同的“取法”对应着不同的“数额”，再注意到若都是“不取”，则“数额”为0,这不符合题意，故所求答案应为 2×2×2×3×3－1=71(种)。 解法2.分四类:(1)只有1张“壹圆”和1张“伍圆”的参与组额，有C51+C52+C53+C54+C55种不同数额的款子; (2)两张“壹圆”的必在内且“伍圆”的只取一张参与组额，有C22（C40+C41+C42+C43+C44）种不同数额的款子; (3)两张“伍圆”的必在内且“壹圆”的只取一张参与组额，同样有C22（C40+C41+C42+C43+C44）种不同数额的款子; (4)两张“壹圆”的和两张“伍圆”的都必在内，则有C22C22（C30+C31+C32+C33)种不同数额的款子。 故由加法原理知所求结果即为上述四类结果之和，即71种。（注:该解法2只有在学习了组合知识以后才会用) 二、要注重数学思想方法的挖掘、提炼和渗透 把握好数学思想方法，对于抓住数学知识结构的基础与核心，探索解题的思路与策略，以及促进创造性思维活动的开展和发展，都有着不可低估的作用，同时这也符合当今素质教育的精神。然而，数学思想方法的把握不可能一蹴而就，而是一个潜移默化、 循环往复、逐步提升的认识过程，它需要我们在各个教学环节中去认真地加以挖掘、提炼和渗透，方能取得成效。 “排列与组合”这一单元中蕴涵着较多的数学思想方法，主要的有分类讨论思想、化归转化思想、对应思想、对称思想、整体思想等。 例如两个基本原理和排列数公式的导出就用到归纳法; 组合数公式的导出，既用到归纳法，又利用了转化的思想; 组合数的性质“Cnm=Cnn-m”与“Cnm+Cnm-1=Cn+1m”的组合定义证法，就用到了一一对应思想和对称思想以及分类讨论思想。这些，都值得我们认真加以对待。 数学思想方法的把握，对于解题思路的探索和解题策略的制定以及解题过程的优化尤显重要。因此，在例题的讲解和习题的讲评过程中，我们不应只停留在就题论题的层面上进行简单地模仿，而应在数学思想方法的把握与运用上下功夫，以求达到高屋建瓴之境界。 例4.求由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数的个数。 分析1.由于数字不多，因而可以将1与2不相邻的情况一一罗列分类求之: (1)1排个位时，有P11P31P33种排法; (2)1排十位时，有P11P21P33种排法; (3)1排百位时，有P11P21P33种排法; (4)1排千位时，有P11P21P33种排法; (5)1排万位时，有P11P31P33种排法. 故由加法原理知共有 P11P31P33×2＋P11P21P33×3＝72(个)。 分析2.每一个五位数无非就是两种可能—“1与2不相邻”或“1与2相邻”，前者情况较多，而后者情况较少(为4!·2!种)，因此“1与2不相邻”的五位数共有5!- 4!2!=72(个)。 这是整体思想与转化思想的综合运用。 分析3.分两个步骤:(1)排好3,4,5，有3!种排法; (2)将1与2插入这三个己排好的数字之间或两端，有P42种插法，而每一种插法都对应着一个符合条件的五位数，故由乘法原理知共有3!·P42=72个符合条件的五位数。 这种方法即所谓“分步插空法”，它是归纳转化思想运用的结果。 例5.由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有多少个? 分析.分类讨论是一种行之有效的办法，但显然太繁; 而其反面—“个位数字大于十位数字”的情况也很多，从而出现了“正难”“反也难”的局面。但注意到以下两点: (1)记A= ，B= 则 A∩B=Φ，A∪B= ; (2)A与B是一一对应的(对应法则为“交换个位与十位数字”)， 则可立知符合条件的六位数共有P51P55÷2=300个。 这里主要是整体思想与一一对应思想的应用。 例6.求方程x+y+z=9的正整数解的组数。 分析.等式9=x+y+z表示将9划分为三个正整数之和，因此，将并列的9个1的八个空隙之间插入两隔板(如下图所示) 1 1 │ 1 1 1 │ 1 1 1 1 就是对9的一种划分，即每一种插法都对应着方程x+y+z=9的一组正整数解，反之，方程 x+y+z=9的每一组正整数解都对应着这样一种插法，故原方程共有C82=28组正整数解。 例7.求方程x+y+z=9的非负整数解的组数。 分析.由x≥0, y≥0, z≥0 知x+1≥1, y+1≥1, z+1≥1，而 x+y+z=9 (x+1)+(y+1)+(z+1)=12. 于是令a=x+1,b=y+1,c=z+1,则转化为求方程a+b+c=12的正整数解的组数。从而由例6的解法立知原方程共有C112=55组非负整数解。 以上两例均是对应思想及转化化归思想的体现。 综上可见，“排列与组合”这一单元从例题到习题，从知识到方法，均潜存着较强的素质教育功能，只要我们善于挖掘和提炼，注意渗透和应用，不仅能有效地突破这节难点，而且将使学生的认识水平和思维能力获得新的提升。 |
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