注重研究 把握教改新精神 ——————解析几何教学、复习之我见 江苏省太仓高级中学 偶伟国 (215400) 解析几何是一门用代数方法来研究几何问题的数学学科。坐标法解决几何问题既体现了数形结合思想，更是学生进一步学习数学、物理等其它科学技术的工具，因此解析几何在初等数学的地位和作用是不容忽视的，也是高考的重要内容。当前，由于教材和大纲的改革，新教材解析几何的内容和要求也作了相应的调整，那么如何吃透改革精神，更好地把握教学与复习呢？笔者认为可围绕以下几个方面来开展教学研究。 一、明确大纲新要求 （1）教学内容上的变化 解析几何新教材安排了“直线和圆方程”和“圆锥曲线方程”两节内容，直线和圆在内容和要求上较以往没有太大变化，新增了“简单的线性规划”一节，这一节主要介绍了用二元一次不等式表示平面区域和简单的线性规划问题。而在“圆锥曲线”中删去了“坐标变换”以及“参数方程”和“极坐标”这三部分内容。 （2）教学要求的变化 直线与圆与原大纲没有发生变化，但是教材在处理有关问题时应用了向量来解决有关问题，如直线的斜率、圆的参数方程的推导，突出了向量在解决有关解析几何问题的有效性和重要性，也体现了知识之间的联系。对于“线性规划”这一节内容，要求学生了解用二元一次不等式表示平面区域、了解线性规划的意义，并会简单的应用，通过以线性规划为内容的研究性课题与；实习作业，提高解决实际问题的能力。这一节的重点是二元一次不等式表示平面区域，难点是如何把实际问题转化成线性规划问题。教材在围绕线性规划应用举了四个例子，最令学生困惑的是P63例4，即一个整点问题，课本处理的方法是建立在准确画图的基础上，而笔者认为应用此法在求解时易漏解，不妨应用枚举法更有效。 二、注重研究新课程高考的新动向 在以往的高考中常常出现区分度较大的解析几何问题，也是学生感到害怕和吃力的试题，而纵观近三年的新课程高考卷，解析几何问题难度在降低，但是题型较新，给人以一种耳目一新的感觉。2000年均采用了全国卷的解几题，而2001年、2002年出现了一些与全国卷截然不同的问题，值得做一番剖析研究。 选择题：（1）设坐标原点为0，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则 · =_______ (A) （B）- （C）3 （D）-3； 简析：把向量的数量积与抛物线的焦点弦结合起来考查，体现了知识的综合运用，若设A（x1,y1）,B(x2,y2)，则 , 。作为选择题，可以采用特殊值法，即把AB看作通径，即得答案B。如果熟知焦点弦的结论y1y2=-p2，则解决问题也较为方便。而对于结论y1y2=-p2，一般是采用韦达定理推导得出的。教学时也可引导学生结合向量利用A、B、F（焦点）这三点共线去探求。 (2)平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（-1，3），若点C满足OC=α· +β· ，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹为（A）（x-1）2+（y-2）2=5 （B）3x+2y-11=0 （C）2x-y=0 （D）x+2y-5=0； 简析：本例所给的条件均与向量有关，而所求的结论是解析几何的轨迹问题，因此解题不妨从向量入手。 把 代入 ，得 ，即 ， ，即点A、B、C共线，故点C在直线AB上，所以轨迹方程为直线AB的方程。而如果直接设点C坐标求解则较繁。 （3）若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0），F2（3，0），则其离心率为 (A) （B） （C） （D） 简析：虽然本题椭圆中心不在原点，新大纲已不作要求，但从椭圆第一定义入手很快可以解决问题，由|OF1|+|OF2|=2a=4,a=2,由2c=2，得c=1，故e= 。此题要求我们教师要注意引导学生善于应用圆锥曲线的定义解决有关问题。 解答题1：设0〈θ〈 曲线x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ-y2sinθ=1有四个不同的交点，（1）求θ的取值范围，（2）证明这四个交点共圆，并求圆半径的取值范围。 解：（1）两曲线的交点坐标（x，y）满足方程组 即 有4个不同交点等价于x2>0且y2>0 又因为 ，所以得 的取值范围为 （2）由（1）的推理知4个交点的坐标（x，y）满足方程 ，即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为 因为 在 上是减函数，所以由 知r的取值范围是 。 说明：本题的背景是二次曲线与二次曲线的交点问题，似乎有超出《大纲》要求之嫌，但学生若能准确应用数形结合思想，即能认识到这四个交点具有的对称性，则有利于问题的解决。 解答题2：已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使 · ， · ， · 成公差小于零的等差数列，（1）点P的轨迹是什么曲线？（2）若点P的坐标为（x0，y0），θ为 的夹角，求tanθ。 解：（1）记P（x，y），由M（-1，0），N（1，0）得 于是， 是公差小于零的等差数列等价于 即 所以，点P的轨迹是以原点为圆心， 为半径的右半圆。 （2）点P的坐标为 ， 说明：本题把平面向量、圆锥曲线，三角函数结合起来，揭示了数学知识，更深层次的内在联系。本题在求解轨迹方程时，不要把“公差小于零”这个条件遗漏，其次要注意合理利用，即用2d〈0，较合适。而在tanθ时，有学生利用解析几何的夹角公式求解，则要注意区别两个概念的不同，不能混为一谈。 纵观以上新高考解析几何题，最明显的特征是加大了向量与解析几何的综合考核力度。而以往的“韦达定理的应用、求曲线方程、直线与圆的曲线关系”等这些高考热点问题则在降温，体现了新高考对教材改革的支持。其次解答题虽然增加了试题的综合性，但在推理和思维上没提出了较高的要求，这样的试题是新课程试卷中倡导的，也体现了新课程试卷对解析几何命题的一种方向。 三、注重研究向量与解析几何之间的联系 由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，而新高考题则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透响量有关知识。 （1）利用向量来推导有关公式、定理 教材在推导斜率公式及圆心不在原点的圆的参数方程，均采用了向量方法。这就启示我们在其它公式的探究过程能否从向量入手，而事实上这样的例子还有不少，例如，可以利用向量知识来推导点到直线的距离公式。 从向量的坐标运算角度来推导。 直线L：Ax+By+C=0的法向量为n=（A，B）。点P（x0,y0）为L外一点，设PQ是直线L的垂线段，则PQ=λn=λ（A，B）=（λA，λB）。 代入直线方程，得 |PQ|= 。 （2）要引导学生善于运用向量解题 向量的共线、数量积、夹角公式等为解决有关解析几何问题提供了有力工具。因此在遇到平行、垂直、角度等问题时，要注意引导学生尝试能否应用向量来求解。 例4 设点A和B为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB。求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。（2000年（北京、安徽）春季高考试题） 解：设 。 所以有 因为 ，所以 ，即 化简得 ① 又 ，知 即 ② 又A，M，B三点共线，所以有 。 所以 ， 即 ③ 将①、②两式代入③式，化简整理，得 因为A，B是异于原点的点，所以 。 故点M的轨迹方程为 （ ），它表示以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆（除去原点） 说明：本题从“两个垂直，一个三点共线”这些条件出发，应用向量公式，较快地列出了三个等式，化简、代换之后问题很快解决。解题思路简明扼要。而类似这样的例子较多，不一一列举。关键只要培养学生在解解析几何题时有用向量的意识。 （3）要编选一些向量与解析几何的综合问题供学生思考、练习 此类习题目前在各类参考书上不多见。为此教师可以尝试改编一些原有解析几何习题。 如：①双曲线 的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，且点P到x轴的距离为 ，则 （2001年全国高考理科（14）题改编） ②设抛物线y2=2px（p>0）焦点为F，经过点F的直线交抛物线与A，B两点，点C在抛物线准线上，且已知 且 求证：BC||x轴（2001年全国高考理科（19）题改编） 四、要注重对学生学习、复习解析几何的方法指导 教学的成效如何，最终还是体现在学生对知识的掌握程度以及能力的提高程度，而解析几何作为融代数、几何于一体的一门特殊的数学学科分支，更有必要加强学习方法指导。 （1） 要重视引导学生用坐标法和数形结合思想来研究解析几何问题 解析几何的实质就是以代数中的数与式的知识基础来研究几何问题，而要把几何问题代数化，首先恰当建立坐标系，其次在研究有关解析几何问题时，要善于数形结合，特别是在研究圆中的有关问题时，不能忽略有关平几的定理。 例如：已知圆 与直线 交于P、Q两点，O为坐标原点，求 的值。 此题若设出P、Q坐标，再应用数量积公式，解题方法较多，而由 =| ，利用割线定理求解则既简洁又准确，让学生体会到数形结合在解题中的优势。 （2） 要重视引导学生对知识、方法的归纳、总结、推广 解析几何中有较多的问题存在着共性，因此要引导学生善于从研究一类问题类比推广为一类问题。如直线与圆锥曲线的交点问题、对称问题等等，研究的方法基本类似，因此可以把以一种圆锥曲线为知识背景的问题推广到其它两种圆锥曲线。 例如：已知双曲线 ，过点P（1，1）能否作一条直线l与双曲线交于A、B两点，且P为AB的中点。 本例若用点差法求解直线斜率时，较多学生往往因不检验Δ而出错，分析其原因，一是点差法求解，不是等价变形，另一原因是双曲线不是封闭曲线，因此并不是所有的点都能成为弦的中点，所以要检验Δ。教学中可引导学生类比思考：若点P是椭圆中的某个点或抛物线含焦部分中的某个点，结论又是如何呢？以此培养学生思维的发散性。 再如，抛物线中过焦点弦有许多结论，一方面可以让学生在学习和复习时自己归纳整理，另一方面可以启发他们尝试能否把有些结论推广到一般的弦（即不过焦点）。笔者在教学中曾引导学生一起探究，从而探索出了如下的结论：“直线l与抛物线y=2px（p>0）交于A、B两点，若xx为定值，则l过x轴上的定点，反之亦成。”这样的探究活动有利于培养学生的创新思维。 （3） 要重视引导学生优化解题方法 解析几何题往往入手的途径很多，但由于方法引用是否恰当、合理，从而导致繁简程度相差很大，因此需要我们教师在解题教学时要引导学生如何合理有效地解决问题。 例如：已知直线l1：y=x和直线l2：y= x，在两直线上方有一点P，P到l1、l2的距离分别是 和 ，又过点P分别作l1、l2的垂线，垂足分别为A、B，（1）求点P的坐标 （2）求|AB|的值。 解：设点P（x，y） （此处利用平方去掉绝对值，则下面的解题过程既繁又易错，而若能结合平面区域去掉绝对值，则能优化解法） 因为点P在l1、l2的上方，故 由此解得 x=0,y=4 笔者曾把这一问题作为课堂例题，让学生先自行求解，结果发现班级中只有极个别的学生应用上述方法，由此看出学生的知识学习相当零碎。他们以为平面区域仅仅用来解决有关线性规划问题，而不善于知识迁移，这也是导致他们解题方法繁难的原因所在。 应当说，解析几何这门传统学科，随着中学课程改革的实施，在内容、要求、教法、学法上都提出了新的要求。如果教师还一味照搬原有模式，那么教学复习必将走入误区，甚至出现劳而无功的现象。而唯有不断研究，把握教改新动向，方能使我们的教学复习取得事半功倍的成效。