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| 有关二面角的商榷 | |||||||||||||||||||
| 作者：广西蒙山中学 孔祥胜 文章来源：〖未知〗 点击数： 更新时间：2003-7-23 | |||||||||||||||||||
| 2002年广西高考题第19题是：四棱锥P-ABCD的底面是边长为 的正方形， 。 （1）若面PAD与面ABCD所成的 二面角为 ，求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化， 面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90 0。 由这个题我想到对于二面角有两点值得 商榷的地方，望同行指正。 一、二面角的平面角的范围。 在中学里，我们学了很多有关角的概念，这些角基本上都定义（或按定义可推出）范围。比如：三角形的内角 （还可细分为锐角，直角，钝角）；两条异面直线所成的角 ；直线和平面所成的角 ；直线的倾斜角 ；两条直线的夹角 。而二面角的平面角在教材中却没有说明它的范围！在教学参考书（1990年11月第1版，P26页）有：平面几何中可以把角理解是一个旋转量，同样一个二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的。教材与教参中都有：二面角的大小，可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度。而二面角的平面角在教材中是这样定义的：以二面角的棱上任意一点为端点在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。这实际上是只给出一个角的始边和终边位置，而中间的旋转过程，包括旋转的辐度多少，旋转的方向都是未确定的。因此这样的角有无数个，它们的大小是不定的！如果这样理解的话，笔者认为二面角的范围是整个实数。而通常的理解二面角范围是 ，我想这一方面是从数学的简洁性出发，虽然这样的角有无数个，但二面角的图形只有一个；另一方面是求二面角大小时，通常要把它的平面角放至三角形中去解三角形而得。上面的高考题（2）问的标准答案中由 而得 实际上就是认为 。其实注意到 为等腰三角形，利用 ， ，不用余弦定理就可得 。 （2）二面角的规范表示。 我们知道，数学中每引一个概念，都同时给出这个概念的符号表示。对二面角，教材中是这样规定的：棱为AB，面为α，β的二面角，记作二面角α—AB—β。注意这里的面α，β是半平面。二面角的考查通常是放在某个几何体中进行的，而几何体的面在教材中是这样规定的：围成多面体的各个多边形（包括多边形的内部）叫做多面体的面。平面，二面角的面（半平面），多面体的面（多边形）这三者是有区别的：平面可以向四周延展，半平面只能向四周中的三个方向延展，而多边形则不能延展。因此，笔者认为：很多资料上有类似于“在四棱锥P-ABCD中，面PAD与面PCD所成的二面角”的语句是不够规范的。原因为：二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，而多面体的面是多边形（及其内部），由多边形到半平面需要作延展，但向什么方向延展在原语句中没有具体体现。也就是说这样的语句所表示的二面角至少有四个，而且其中至少有一个为锐角或直角，就类似于“平面多边形里，两条相交的对角线（线段）所成的角”至少有四个，而且其中至少有一个为锐角或直角。而众多资料上（但教材上没有）的另一种表示方法“在四棱锥P-ABCD中，面PAD与面PCD所成的二面角A—PD—C”，笔者认为还是比较规范的。理由是：它就像 中指出了射线的方向一样指出了由多边形到半平面的延展方向。 数学的严密性与数学的简洁性是矛盾的，又是辨证统一的。我们不能为了简洁性而不要严密性，或为了严密性而不顾简洁性。所以笔者认为最好像“复数的辐角主值”一样定下二面角的一个范围算作是二面角的主值，并且规范二面角的表示方法。 |
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