已发表在《中学数学研究》2003年第7期
浙江省台州职业技术学院九峰分院  318020

在数学思维活动中，“直觉”一直扮演着一个特殊的角色。它既不同于逻辑，又不同于经验，是一种介于逻辑与经验之间的、时常带有一定神秘色彩的创造性思维活动。很多数学家都对直觉给予很高的评价，著名数学家F·克莱因因经常使用这种方法，即猜出某些十分困难的问题的答案，因而被称为“伟大的直觉天才”。正因为如此，新数学课程标准里把直觉思维提到了一个显著的位置，学生直觉思维能力培养也成了数学课堂教学的一个重要目标。但是，应当指出的是，直觉并不都是可靠的，正像庞加莱说的那样：“直觉是不难发现的。它不能给我们以严格性，甚至不能给我们以可靠性；这一点愈来愈得到公认。”事实上，在实际教学中也确实如此。

1 数学直觉，能导致缺少合作与体验

在教师给出数学题目后，有些学生能够很快地凭直觉得出正确的答案，但是由于未经充分地思考，导致学生在解题过程中缺少合作与体验。见下面一个实例：

两个学生（他们组成一个“解题组”）被要求解决下述的问题：

在半径为r的圆周上选择三个点，并对它们进行连结以构成三角形，如何对这些点进行选择以使所作出的三角形具有最大的面积？并对自己的结论进行证明。

结果两个学生都是采取了“计算面积”的方法去对此进行证明，即是希望实际地去算得圆的内接正三角形和其他各种三角形的面积。他们在繁琐的计算上耗费了全部的时间，却没有取得任何实质性的进展（而且，这两个学生基本上处于“各自为战”的状态，从而也就没能够真正做到有效的合作）。事实上确实这样，一旦学生具备了良好的数学直觉能力，如果不经教师的正确引导，学生极易采取个别行动而缺少合作精神，缺乏解题过程中应有的体验。

2 数学直觉，能导致解题不严密

在学了“集合”这一章的“真子集”定义后，叫学生用自己的语言复述定义时，学生凭直觉得出：若集合A是集合B的真子集，那么集合A首先是集合B的子集，然后集合B中的元素至少比集合A中的元素多一个；反之，也成立。但是这种提法，对有限集来说是对的；对无限集来说，则不够严密。不妨举个例子：

显然，正偶数集{2,4,6,8,……}是正自然数集{1,2,3,4,……}的真子集,但是正自然数集的个数却不比正偶数集多,事实上是一样多。因为我们完全可以在正自然数集和正偶数集之间建立下列一一对应（映射）关系：

1      2       3       4       5  ……

      ↑      ↑      ↑      ↑       ↑

2      4       6       8       10 ……

当然，学生通过直觉得出的这些结论是他们素朴的思想的一种表现，对待这种不严密，我们教师应该采取更加宽容的态度。但是宽容并不等于放纵，教师应该将学生引导到严密的轨道上来，当然要注重在适当的时机采取适当的形式。 

3 数学直觉，能导致解题谬误

在初学导数时，由于我们要先给自变量一个变化量△X,然后再计算出△Y。在这一过程中，我突然举了一下这个例子：

假如有一条很长很长的绳子，恰好可绕地球赤道一周。如果把绳子再接长15米后，绕着赤道一周悬在空中（如果能做到的话），那么在赤道的任何地方，姚明都可以在绳子下自由穿过！你们相信吗？

几乎所有的学生都认为这是不可能的，他们无论如何也想不通：地球半径这么大，而绳子仅仅接长15米。但是通过严谨的数学计算告诉我们：这是千真万确的！

还有一个例子，那是我在上概率课时，我突然跟学生打赌：我说你们班的学生当中至少有两个人的生日在统一天，你们信吗？

结果跟上述例子一样，学生也想不通：我们班只有50人，而一年有365天，生日相同的概率该不会很大吧！这节课我就带领学生探究这一问题，最后学生终于承认是他们错了，因为生日相同的概率是97％。

事实告诉我们教师，在培养学生直觉能力的同时，别忘了让学生明白在学习数学时，光有直觉是不行的，直觉也会导致谬误。

4 数学直觉，能导致缺少反思

先来看一道例题：

下面各题中，每组四个数都是按一定规律排列的，把其中多余的一个数找出来：3，9，18，27，81

由于这道题是在“数列”这一章节中，学生凭直觉可能会认为此题是按等比数列设计的，所以答案就是18。也正是由于数学直觉能带给学生极强的自我效能感，极易导致解题后缺少反思。也正是由于缺少反思，使得学生不会对自己原有的认识进行重新评价和调控（元认知调控），题目中原有的解题思想可能得不到彻底的贯彻。就象上一道题，其实还可以有：

（1）    按是否为合数分类，应选3；

（2）    按是否可以写成不超过10的3个整数之和分类，应选81；（3＝0＋1＋2，9＝2＋3＋4，18＝5＋6＋7，27＝8＋9＋10，而81>10＋10＋10）

（3）    按数码和是否为9分类，应选3。

……

    上述对数学直觉的“缺陷”的阐述，不能据此就认为笔者反对学生凭数学直觉来解决问题；相反，笔者认为在教学中要十分注意保护和培养学生的数学直觉能力，因为在数学中确实存在着一些“只可意会，不可言传”的东西。但是正是由于数学直觉存在着种种缺陷，所以若没有经过教师的正确引导，学生很容易步入种种误区。人们经常可以看到这样的现象，即学生（甚至包括教师）只是满足于通过直觉求得问题的解决，却不再对此进行进一步的思考和研究，甚至未能对所获得结果的正确性作出必要的检验和证明。“数学本质在于证明”，与其强调培养数学直觉能力的重要性，还不如强调通过数学直觉解题后的检验和证明以及一些必要的反思；并且希望通过教师的引导促使后者由原来所说的“被动状态”向相应的“自觉状态”转变。反过来，这种转变又会促使学生在解题中克服数学直觉可能产生的种种缺陷，也事实上很好地培养了学生的数学直觉能力。所以说教师在自己的教学过程中应十分注意如何更好地去培养和发展学生的直觉能力，特别是，应帮助学生逐步养成证明和反思的良好习惯。任何缺少这种良好习惯的“数学直觉”很容易成为学生猜题的借口，甚至“沦落”为解题过程中学生“投机行为”的“后台老板”。数学直觉，想说爱你确实不容易！

参考文献

[1] 吴振奎.数学中的美—数学美学初探.天津:天津教育出版社,1997

[2] 郑毓信.数学教育:从理论到实践.上海:上海教育出版社,2001

[3] 郑毓信.数学方法论.广西:广西教育出版社,2001

[4] 王前.数学哲学引论.辽宁:辽宁教育出版社,2002

[5] 罗增儒.中学数学课例分析.陕西:陕西师范大学出版社,2003

[6] 郑毓信.认知科学建构主义与数学教育.上海:上海教育出版社,2002