汪国华   浙江省台州职业技术学院九峰分院  浙江台州 318020

汪洁萍   浙江宁波大学师范学院初等教育分院 浙江宁波 315016

1 提出问题

笔者一直以来都在基层从事教育工作，学生在学习数学中产生的问题很多。经过多年的教学实践，发现大多数高一学生在函数y=1学习中产生了很大困难：

（1）不知道y=1是一个函数（依据是只有因变量y，没有自变量x）。

（2）经老师点拨后，知道y=1与f(x)=1是同一回事，但新的问题又出现：

     a.很多学生将函数y=1的图象画成一个点（0，1），而非一条直线。

     b.很多学生知道f(1)=1，但同时得出f(2)=2这个错误结论。

2 探究原因

为了深入探究学生在学习中出现上述困难的原因，我们有必要对函数的两种定义及函数的本质作一次深刻的理解。

初中时函数的定义为：设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

而高中将函数定义为：如果A、B都是非空数集，那么A到B的映射f:A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)。其中x∈A,y∈B。

比较上述两种定义发现，初中函数的定义是用描述性语言给出的，而高中是从映射的概念出发来定义函数概念的，并给出符号y=f(x)。那么函数的概念为什么要重新定义呢？我们知道，初中生学习函数主要是学习一些非常简单的具体函数：正比例函数、反比例函数、一次函数等等，并了解它们的一些简单属性：公式、图象、单调性等，这与初中生的认知水平相适应的。但到了高中，虽然也会继续学习很多具体的函数，但也要求学生不从具体函数出发掌握函数的一般性质：单调性、对称性、周期性、奇偶性等，那么引出函数符号y=f(x)就成了必要。

用映射的思想来定义函数的概念，比初中函数的定义有很多优势：

（1）利用函数符号y=f(x)可明确知道这样一个过程：x通过法则f作用对应到y。

（2）对判断两个函数是不是同一函数有很大帮助，例如y=x²与y=t²就是同一函数。

（3）复合函数f(g(x))只有通过映射x→g(x)→f(g(x))才能展示其动态的一面。

（4）函数的性质：单调性、对称性、周期性、奇偶性等只有通过符号y=f(x)才能得到充分地展示。

但是，不要认为映射的思想就是函数的本质。其实，函数的本质在于变量之间的相倚性。函数是用来描述客观世界变化规律的重要数学模型。比方说，长方体体积（v）是由长（x）、宽（y）、高（z）决定的，即说明v与x、y、z之间存在着相倚性，但却很难联系到多个集合与一个集合之间的映射。虽然映射的思想不是函数的本质，但却能最深刻地刻画函数的本质。由此，我们知道学生在学习中之所以会出现上述困难关键在于没有领会映射思想，没有建立概念内部与概念之间的联系，而仅仅记住其表现形式或语言表述，此时他所掌握的概念是孤立的，实际上并没有正确理解概念，不能真正解决具体问题。

3 对策

教师在具体实施“函数概念”课堂教学中，应首先用以旧带新进行比照的方法引入函数的新定义及表示符号y=f(x)，引起认知冲突，让学生在已有知识基础上重新构建出新的知识，让学生将符号所代表的新知识与学生认知结构中已有的适当知识建立非认为的和实质性的联系，对符号y=f(x)有着更深刻的理解，并能灵活运用到具体的情境中去；同时要消除学生思维定势对函数图象法、列表法学习的影响，强调图象法、列表法与公式法处于同等的地位，它们只是法则的给出方法不同而已。在此，笔者认为有4处有必要重申一下，也许会对实际教学有帮助。

（1）函数的公式表示法是必须要给出一个具体的函数解析式，认为y=f(x)是函数公式表示法是错误的。

（2）所有连续图形都可以由或多或少的复杂公式给出，所以气象台自动记录器所记录的T与t的关系可用公式法表示，只不过公式比较复杂而已。采用图象表示法是为了更直观形象地描述函数。

（3）函数概念提及变量x、y，着重点不在于变量x、y的变与不变，而在于变量之间的互动性、相倚性。

（4）教学中在作函数y=1的图象时常会要求学生作x=1的图象，但必须明确的是x=1不是函数。

4 启示

近几年来，高中数学的教学质量一直得不到有效提升，很多教师将这归因于生源质量的下降，这是一种片面的、错误的观点。很多高中数学教师头脑中知识结构陈旧，不注意挖掘知识内涵，又不及时吸收先进教育理念，改进教学方法，在很大程度上造就了今天这一局面。在大力提倡创新教育的今天，高中数学教师有必要认真反思自己的教学了。

参考文献

[1]  A.D.亚历山大洛夫等. 数学它的内容，方法和意义. 北京：科学出版社，2001

[2] 石志君. 和青年教师谈“教材分析”. 数学通讯，2002.3

[3] 孔繁潜. 数学教学中的重难点分析. 数学通讯，2002.7

[4] 黄炳生. 函数概念的两个注记. 工科数学，1995.1

[5] 刘洁. 函数概念的扩展. 高等数学研究，1998.9