──一则案例的启示

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汪国华

浙江省台州职业技术学院九峰分院  浙江黄岩  318020

寒假里，朋友的一位女儿说有几道题目要问我。她是在某市的一所重点高中读高一，数学成绩一直都不错。她给我的某一题目是这样的：

题一：一个三角形纸片内有99个点，连同三角形的顶点102个点无三点在同一直线，若以这些点为三角形顶点，把这三角形纸片剪成小三角形，问这样的三角形共有几个？

无论我怎么暗示，该学生就是无法从长时记忆中提取与此题相关的信息，解题失败。我为了探究该学生头脑中已有的数学认知结构，将题目作了如下变换。

题二：已知等差数列{a_n}中，a₃＝1，a₄＝3，求a₁₀₂ 。

我发现该学生能很快地运用等差数列的相关知识解出a₁₀₂＝199，说明该学生在等差数列的求通项公式上不存在任何问题。我随即问该学生对“题一”现在有没有解题思路？能不能解出？遗憾的是该学生还是很迷惑，并说：我知道“题二”一定跟“题一”密切相关，难道“题一”的答案就是199？

那么学生的思维障碍究竟在哪里？我又将“题一”作了如下变换。

题三：一条线段上取n（n∈N^*）个点，连同线段的两个端点共n＋2点，记以其中任两点为端点的线段的条数为b_n ，求b_{n 。}

该学生说：这个好办，让我先做做看。

她的解题思路是这样的：

当n＝1时，共有3条；

当n＝2时，共有6条；

当n＝3时，共有10条；

┅┅┅

经过计算，得出b_n＝ (n+1)(n+2) 。

我就问该学生：要是我将“题一”中的条件“102个点”改成“n个点”，那么如何解呢？

经我这么一提示，该学生忽地明白了。而我则陷入深深的迷茫之中。确切地说，学生在解“题一”和“题二”（特别是“题二”）过程当中所表现出来的各种能力让我震惊！作为高一学生又是新学“数列”内容，能想到先将n进行分类（分类思想），又能从得出“b_n＝ (n+1)(n+2) ”这一一般结论（归纳思想），应该说是符合数学“好学生”的标准了。但为什么就是这样一个“好学生”在拿到“题一”时却一筹莫展呢？“反思”是最好的良药，作为数学教师应该好好反思在课堂教学中是不是存在一些未曾预料的“偏差”。问题已摆在我们面前，它给我们的启示是深刻的。

偏差一：我们教师是不是在不停地强调“从特殊到一般，由一般到特殊”的过程时，却忽视了“从特殊到特殊”这一过程？见下图：

特殊一              一般                  特殊二

之所以我在“特殊一”与“一般”、“一般”与“特殊二”之间用黑体实心的直线连接起来，是因为在我们老师的心目中早已认定“从特殊到一般，由一般到特殊”是一对孪生姐妹，是自然界一个非常普遍的过程。事实上，我们的教师确实也都是这样做的，对学生的要求不光是会解“特殊”问题，而且也要会解“一般”问题。进一步说，我们的学生若是只会解“特殊”问题，而不会解“一般”问题往往就会被认为是一个“不成功”的解题者。所以课堂上我们常常听到的声音是：同学们，这道题能不能推广呀？能不能给我一个一般的公式呀？我们可怜的学生就象拧紧的发条一样时刻准备着。这样一来，“从特殊到一般，由一般到特殊”这两个过程得到不停地强化，而“从特殊到特殊”却很少提及。上述的案例很明显地说明了这一点。提供一般性问题：n个点，学生就明白先将题目进行特殊化处理，然后再归纳出一般性的问题。在解决了这一一般性的问题后，通过类比，学生又会解决特殊问题。但是为什么学生先拿到“题一”就不会做了，而且还毫无头绪。在上图中我找到了答案：因为解决“特殊二”须从“一般”这条通道过来，而与“特殊一”却建立不起一条良性的通道，所以导致解题失败。那么我们现在要思考的是要不要在“特殊一”与“特殊二”之间也建立起一条强有力的通道呢？

我看很有必要。虽然数学家波利亚要求我们随时把观察结果提高为一般性的原则，还特别要求我们要具有“理智上的勇气，理智上的诚实和明智的克制”的科学品质，但是在知识大爆炸的当今社会，学生具有从某类特殊情况推出另一类特殊情况的能力也显得非常重要。特别是象与学生将来关系密切的股票、期货和投资等金融方面的数学根本没必要将特殊情况提高到一般性的原则，甚至根本无法提高到一般性的问题。在这里，由简到繁的朴素的思想方法显得更加重要。当然我在这里需要说明的是，我并没有反对将特殊问题提高到一般的问题；相反，我觉得在课堂上应该提倡。只是我认为不能过分强调，而应该给“从特殊到特殊”一个相应的位置。如图：

特殊二        

特殊一                       一般

上图也许更能符合学生的实际需要。在实际教学中应该强调“从特殊到一般，从特殊到特殊”这两个过程，而对“从一般到特殊”这一过程教师可以采取低调处理。一来，这一类问题学生较容易处理；二来，防止对“特殊二”的学习产生干扰。

偏差二：在“数列”教学中，我们是不是在不停地强调“求a_n，求S_n”，却忽视了对数列的本质认识？也就是说我们在某种程度上“淡化了实质，却重视了形式”。

在目前“数列”教学中，我觉得有必要指出的是：我们的教学正在远离数列的本质。我们正在重视了形式，却淡化了实质。我们不停地让学生求“a_n，b_n”和“S_n，T_n”，好像学生学习“数列”就是学习这些符号之间的一些运算。实际上，在没掌握数列的本质内涵基础上，盲目地学习这些符号存在着很大的危险：一、认为数列一定要用“a_n，b_n”等符号表示。换句话说，若没有告诉你“a_n，b_n”等形式，就不存在数列。二、符号“a_n，b_n”与符号“S_n，T_n”对数列的学习存在着严重的干扰。我就曾经在某班的课堂上举了下面这个例子：

已知数列{ s_n}, s_n=n²，求数列前n项和a_n。

结果发现有30％的同学认为是题目出错了，无法做；另有30％的同学是这样做的：a_n＝s_n－s_n-1=n²-(n-1)²=2n-1;a₁=s₁=1。只有10％能做出正确的答案。

在平行班，我同样地在课堂举了这个例子，只不过我将符号“a_n”与符号“s_n”换了一下位置。结果发现几乎全班同学都会做，并做对。

问题出现了，为什么几乎是一道相同的题目，换了一下符号结果却是天壤之别呢？是的，数学一旦没有了符号，在某种意义上它就不是数学了。但是我们学生学习数学，不仅仅是学习符号，更应该学习符号背后所隐含的深刻内容。上述的例子表明我们的学生在学习数列时对符号这种表象特征给于了太多的关注，而对内容却忽视了。我们反对学生机械地学习符号，提倡学生主动地对符号进行有意义地重建，即鼓励学生进行有意义学习。

另外，还有一点值得我们教师深思的是：我们提供给学生的例子或问题都是经过我们精心加工过的，这些例子或问题要么纯粹说是数列题要么明显带有数列的痕迹，学生很容易利用数列的一些公式和解题技巧来实施拟定的解题方案；但一些隐含着数列内容的问题学生却无法拟定解题方案，而这恰恰是我们学生将来生活和学习中最需要的东西。正如案例中显示的那样，学生会做“题二”，却不会做“题一”。为什么呢？因为“题二”中已说了是数列题，学生套用公式就完事了；而“题一”则必须要求学生从中找出数列，然后实施运算。从某种意义上说，我们的教学是不是还正在培养“高分低能”的学生呢？

在新课程改革轰轰烈烈的今天，也该轮到我们一线教师认真反思的时候了。“我的学生究竟在我的课堂上学会了什么？”这句话也许该成为我们一线教师在实施教学活动时认真考虑的问题！

参考文献

[1] 波利亚.数学与猜想数学中的归纳类比.北京:科学出版社,2002

[2] 郑毓信.数学教育:从理论到实践.上海:上海教育出版社,2001

[3] 岑申 王而冶编.21世纪高中数学精编.浙江:浙江教育出版社,2000