9.1节，平面的基本性质共4个知识点：平面的表示法、平面的基本性质、公理的推论、空间图形在平面上的表示方法。这一小节是整章的基础。通过平面基本性质及其推论的学习使学生对平面的直观认识上升到理性认识。教师应该认识到培养学生的空间想象力主要是通过对图形性质的学习，使学生对图形的直观认识上升到理性认识，建立空间图形性质的正确概念，这样才能学好立体几何。

为了形成学生的空间观念，这一小节通过观察太阳(平行)光线照射物体形成影子的性质来学习直观图的画法。先直观地了解平行射影的性质，这样就可正确地指导学生画空间图形。

这小节教学要求是，掌握平面的基本性质，直观了解空间图形在平面上的表示方法，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图和长方体、正方体的直观图。

9.2节共有两个知识点，平行直线、异面直线。以平行公理和平面基本性质为基础进一步学习平行直线的性质，把平行公理和平行线的传递性推广到空间并引出平移概念，了解了平移的初步性质。在这一节还由直线平行的性质学习异面直线及其夹角的概念。

要求学生正确掌握空间平行直线性质和异面直线及其夹角的概念，这样就为学生学习向量和空间图形的性质打下了基础。

9．3节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面平行特征性质。这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广。直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行。这些平行关系有着本质上的联系。平行平面的传递性在练习中出现，学生做完练习，教师可加以总结让学生掌握这一性质。

通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质。这两个平行关系是下一大节学习共面向量的基础。

前面3节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是这三小节的重点。

9．4节包括两个知识点：直线和平面垂直及正射影和三垂线定理。空间除平移和平行射影的性质外，第二个重要性质就是空间的镜面对称。直线与平面的垂直的特征性质是研究空间对称性的基础。细心分析直线和平面判定定理的证明过程就可以看到，证明的过程就是由平面的轴对称转换为空间的镜面对称的过程。这一小节要特别重视判定定理的教学，要向学生指出定理证明过程的本质。三垂线定理是由直线和平面垂直判定定理得出的一个最重要的空间图形的性质，在传统几可学教育中这个定理占有极重要的地位，在这里，我们只重视概念的教学，减弱围绕三垂线定理的解题训练。这是因为我们有更有效的向量工具处理空间的垂直问题。

这一小节的教学要求是，掌握直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理，掌握三垂线定理及逆定理。这里的“掌握”与9(A)的要求不同。主要是理解定理的本质和直接应用。不要进行大量的解题训练的教学。这样就可减少课时，以加强空间向量的教学。

第二大节空间向量，主要是学习空间向量及其在立体几何中的初步应用。本大节共分2小节。

9．5节，空间向量及其运算共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积。这一节是全章的重点，有了第一大节空间平行概念的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量。由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以例习题的编排也主要是立体几何问题。

本小节首先把平面向量及其线性运算推广到空间向量。学生已有了空间的线、面平行和面、面平行概念，这种推广对学生学习已无困难。但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间。一个向量已是空间的一个平移，两个不平行向量确定的平面已不是一个平面，而是互相平行的平行平面集，要让学生在空间上一步步地验证运算法则和运算律。这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念。

当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量。把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间。然后由这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式。有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题。

在学习共线和共面向量定理后，我们学习空间最重要的基础定理：空间向量基本定理，这个定理是空间几何研究数量化的基础。有了这个定理空间结构变得简单明了，整个空间被3个不共面的基向量所确定。空间—个点或一个向量和实数组(x，y，z)建立起一一对应关系。本节的最后一个知识点是，两个向量的数量积。由平面两个向量的数量积推广到空间。最重要的是让学生建立向量在轴上的投影概念。为了减轻教学难度，内积的几个运算性质教材中没有证明。学生基础好的学校可在教师的指导下，由学生自己证明。

9．6节有两个知识点：向量和点的直角坐标及向量的坐标运算、夹角和距离公式。这一小节，我们在直角坐标系下，使向量运算完全坐标化。去掉基底，使空间一个向量对应一个三维数组，这样使向量运算更加方便。在上一小节已学习向量运算的基础上，把向量运算完全坐标化，对学生已不会感到抽象和困难。在第2个知识点中，我们给出空间解析几何两个最基本的公式：夹角和距离公式。在这个知识点中，作为向量坐标计算的例题，还顺便证明了直线与平面垂直的“性质定理”。通过解一些立体几何的应用题，就可为学生今后进一步学习空间解析几何、高维向量和矩阵打下基础。

要求学生理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算，掌握两点的距离公式。掌握直线垂直于平面的性质定理。

本章第三大节，夹角和距离共有2小节。

9．7节有三个知识点：直线与平面所成的角、二面角、两平面垂直的性质。

9．8节主要学习点到平面的距离，直线到平面的距离，平面到平面的距离，异面直线的距离和计算。

这一大节要求学生掌握直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念。并能灵活运用勾股定理、正余弦定理和向量代数方法计算有关的角和距离。了解异面直线距离的概念和计算。

在学生已初步掌握向量工具的基础上，可用向量工具解决立体几何中的一些较难的问题，一方面可进一步显示向量工具的威力，另外也为解决空间的度量问题找到了通法，减少学生学习度量问题的困难。过去学生解这类问题，主要方法是构造三角形，应用勾股定理、余弦定理和正弦定理求解。这种解法需要对图形进行平移、投影等转化技能，而且不同的问题需要不同的技巧。实践证明，没有向量工具，学生求解这类问题比较困难。有了向量运算工具，很多较难的空间计算问题，就有了统一的方法求解、但如果全用向量处理夹角相距离问题，虽有通法，但有时在解决一些较难问题时，运算量较大并需要一定的技巧，学生掌握这些技能同样会有困难。所以在教材具体编写时，不是都用向量计算方法，有些直接使用勾股定理和三角能解决的问题，就不再使用向量方法了。

本章第四大节是简单多面体和球，共分4小节。简单几何体，是指最基本、最常见的几何体。按照大纲的规定，本章中有关简单几何体只讨论棱柱、棱锥、多面体和正多面体、球。这些内容分别构成本大节的4个小节。

由于初中几何已学过圆柱和圆锥的有关内容，台体(圆台、棱台)又可以通过从大锥体上截去小锥体而得出，为节约课时以便实现高中数学教学内容的更新，本章中的简单几何体比原《立体几何》(必修本)在内容上精简幅度较大，删去了圆柱、圆锥、圆台、棱台等，只保留了最基本的多面体(棱柱和棱锥)、正多面体的有关概念、球等。

9．9节，有四个知识点：棱柱、棱锥、棱柱和棱锥的直观图以及正多面体的有关概念。关于棱柱和棱锥的教学内容都包括有关概念、性质等内容，直观图的画法仅学习直棱柱和正棱锥的直观图。

9．10节，这一版修定为研究性课题。通过研究欧拉定理的发现过程，让学生了解欧拉公式及其简单应用，扩大学生的知识面，培养学生学习数学的兴趣。

9．11节，有两个知识点：球的有关概念、性质和球的体积、表面积。本章通过“分割，求近似和，化为准确和”的方法，即运用“化整为零，又积零为整”的极限思想，对于球的体积和表面积公式进行了推导，这种处理方法与原《立体几何》(必修本)有较大变化。教学中对这两公式的推导，只要求了解其基本思想方法即可，重点在于掌握公式本身；而不必要求学生一定要掌握公式推导的细节。

这一大节的内容，既是对简单几何体基础知识的重点讨论，又是对前面三大节，空间图形的基本性质和向量代数等相关知识的综合运用。

二、本章编写的主要特点

1．整章知识围绕空间向量进行编排。第一大节里空间的平行、垂直概念是把平面向量推广为空间向量的理论基础，由于我们把空间一个向量看作空间“一个位移”，所以在第一大节编写时，在学习平行线传递性的基础上，引入了平移概念。在新大纲中没有“平移”概念，我们感到这个概念对理解向量概念是非常重要的，在教材中还是把它引进了。在第一大节中，对比传统教材，还更新了一些例、习题，也是为了帮助学生理解空间的向量结构而编写的。

2．内容编写以性质为主线展开。教材在学习完平面的基本性质后．以平行公理为基础依次研讨线、线平行，线、面平行，面、面平行，然后通过异面直线及其夹角、垂直的学习，由空间的平行、垂直性质转而讨论直线与平面垂直的性质；这种以性质为主线的编排，可使学生较深刻地掌握空间图形性质及其性质之间的内在联系，平行判定与性质的证明，都是用平行公理证明。这种学习过程就可使学生看到平行公理的重要性，看到如何由线、线平行推出线、面和面、面平行的。同样垂直关系的学习也会起到相同的作用，可使学生清楚的看到，如何由平面内的垂直关系过渡到空间的垂直关系，如何由平面对称过渡到空间对称。以性质为主线的编排还有利于培养学生的空间概念、空间想象能力和逻辑思维能力。

3．重点培养学生使用代数方法解决立体几何问题的能力。在过去的几何教学中，主要使用“形到形”的性质的推理来学习立体几何，并培养学生的逻辑思维能力。这一章的开始，我们仍用综合推理方法学习空间的平行性质，这样做主要是为下一大节学习空间向量打下基础。当我们在第二大节把空间的平行和垂直性质转换为向量表达式(共线、共面向量定理、内积运算)和向量运算后，就把学习的重点转到使用向量代数方法解立体问题上来，并在教材中积极引导学生使用向量代数方法解立体几何问题。

4．在现行立体几何教材中，为减少课时，对空间作图和图形的存在性进行了较多的精简，这样做虽然在一定程度上减少了课时，但对学生形成正确的空间概念又有不利的一面，在不增加学生负担的情况下，我们通过例、习题和适当的说明，加强图形存在性的教学，有时宁可减少唯一性的讨论，也要把图形的存在性说清楚。

三、教学中应注意的问题

1．教学时一定要抓住重点，分清主次。9(B)从内容上看，包含9(A)全部内容，并多了空间向量这一大节。但教学课时与教学要求与9(A)基本一样，显然我们要减弱综合推理的训练，把教学重点转到使用向量代数方法解立体问题上来。对每一大节和小节以及各个知识点也要抓住其内容的重点。

2．正确处理综合推理和代数推理训练之间的关系。虽然整章学习的重点是代数推理，但仍不要完全忽视综合推理的训练。按大纲要求，在第一大节主要是使用的综合推理方法学习空间图形平行与垂直的性质。大纲的这种精神，显然告诉我们在引进向量学习立体几何后，不能忽视综合推理的训练。这种要求给“课时紧”和“内容多”之间增加了矛盾，带来了难度。为了减小难度，在编写第一大节时，把现行教材中，以图形位置关系为主线的编排，改为以性质为主线编排，以利于学生掌握图形的性质进行推理。但综合推理训练的要求相对于9(A)要弱一些。在第一大节教学时，在保证基本要求的前提下，尽量减少课时，以保证空间向量的教学。

3．长期以来有一种错误的观点，以为几何讲理，代数不讲理。几何的综合推理才是训练学生逻辑思维的理想园地。其实代数的每一步运算都要根据运算法则进行，是更加精炼的推理。教学时，要注意培养学生利用向量代数运算进行推理的能力。

四、有待研究的问题

在大纲中设置9(B)方案，是我国中学数学内容改革的重要举措。9(B)方案中内容的确定、内容结构、教学要求、教学方法、可行性等都要通过教学实验来研究确定。这里再提出一些有待研究的课题供大家参考：

1．用向量代数改造传统立体几何教学优越性如何?

2．如何处理综合论证和向量计算推理论证之间的关系?

3.如何在培养学生代数推理能力的同时，培养学生的空间观念和逻辑思维能力?

（高存明）

上一页