人民教育出版社中学数学室

《全日制普通高级中学教科书(试验本)·数学》第一册(下)包括“三角函数”、“平面向量”两章，是供高一年级下学期使用的，每周4课时，本书两章教学时间约需58课时，具体分配如下:

第四章三角函数…………………………… 约26课时

第五章平面向量…………………………… 约22课时

一、教学内容与教学要求

本册书先安排三角函数，再安排平面向量。三角函数一章的主要内容是任意角的三角函数，两角和与差的三角函数，三角函数的图象和性质。平面向量一章的主要内容是向量及其运算，解斜三角形。下面分章作些分析。

(一)与现行高中大纲及课本相比，三角函数内容 的要求大大降低，这主要体现在：对于任意角的三角函 数的定义，只要求掌握正弦、余弦、正切的定义，对于 余切、正割、余割的定义则只要求了解；对于同角三角 函数的基本关系式，只要求掌握

，

不涉及与有关的关系式；对于诱导公式，只要求掌握正弦与余弦的公式；对于两角和与两角差的三角函数公式，只要求掌握两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式，对于三角函数的图象与性质，只对正弦、余弦、正切的图象与性质提出要求，对余切函数的图象与性质不作要求，反三角函数与三角方程是原大纲的选学内容(但却是理工农医类高考的数学命题范围)，现在只要求在已知三角函数求角时，会用arcsinx，arccosx，arctgx表示，其他内容均未列入大纲与课本。

从上述知识对比可看出，新大纲与课本保留了、突出了三角函数知识的基础部分。例如，对于六种三角函数．因为余切、正割、余割分别与正切、余弦、正弦成倒数关系，且正弦、余弦、正切比较常用，所以应重点掌握正弦、余弦、正切的定义，知道余切、正割、余割的定义就可以了。再比如，同角三角函数的基本关系式原来有8个(倒数关系的有3个，商的关系的有2个，平方关系的有3个)，但最基本的是保留下来的两个，它们分别揭示了正弦与余弦，正切与正弦、余弦的关系。

对三角函数内容的精简．其意义可以从以下几方面看。

1、适应了时代的发展，持别是新技术的发展，由于计算器、计算机的普及，三角函数值的计算，三角恒等式的变形就没有必要搞得过多、过难。

2、保留基本内容，仍可以达到培养能力的目的，要求适当，可以减轻学生的学习负担。

3、精简为增加平面向量等新内容提供了保证，使学生的学习内容新一点，知识面宽一点。

(二)与现行高中数学教学大纲和课本比，本册书根据新大纲的要求安排了“平面向量”一章，而平面向量的一些内容原来只在复数的有关内容中介绍，这是新旧大纲与课本在内容上的一个明显不同。

这部分内容的重要性，可以以下几方面来看。

1．平面向量及其运算具有实际意义，在物理中可以看到，一个力可以用一个向量表示，力的合成与分解可以用向量的加法与减法来计算，功实际上是位移与力的数量积。因此，平面向量及其运算是研究现实世界的一些问题的必备工具。

2．平面向量在高中数学教学内容中有广泛的应用，从本书可以看到，利用向量可以得到线段的定比分点公式，平移公式，可以证明正弦定理；余弦定理。在以后的内容中，我们还会看到向量在复数中的应用等等。由于应用向量可以将形的推证转化成数的运算，因而向量是解决许多数学问题的有力工具。

3.平面向量的概念与运算很容易推广到三维空间，乃至n维空间，是后续内容的基础。新大纲安排了利用空间向量作为工具处理传统的综合几何的改革方案。学好平面向量是这项改革的必备条件。

从以上几个方面可以看出在高中集中安排平面向量的必要性，那么教学这部分内容的可行性如何呢?从我们接触到的大纲教材来看，许多国家或多或少地介绍了平面向量乃至空间向量的内容。我社几年前组织编写的《高中数学试验课本》也在这方面进行了有益的尝试，为本套教材的编写提供了宝贵的经验。

二、本书的编写特点

(一)努力使新增内容易教易学

为了使“平面向量”内容易于学生学习，本书在编写时注意了以下几方面的问题。

1．以学生已有的物理知识和几何内容为背景，直观介绍向量的内容。例如，在引言中用小船的位移引入向量的概念，使学生明确向量既有大小，又有方向，又如，一开始就介绍向量的几何表示----有向线段，并将几何表示贯穿向量运算的始终。再如，利用物理中功的概念引入数量积。

2．注意向量运算与数的运算的对比。学习向量运算与学习数的运算有类似之处：从学习顺序上看，都是先定义运算，再研究运算性质；从学习内容来看，向量运算具有与数的运算类似的良好性质。在编写时，既注意了向量运算与数的运算的联系，例如向量的减法类似于数的减法(定义向量a与向量b的差为向量a与向量b的相反向量的和)，又指出向量运算与数的运算的区别，例如向量的数量积不满足结合律。通过对比，力图使学生便于理解新知识，又不至于与旧知识混淆。

3．对向量的应用要求适当。本书中除在正文中利用向量推导定比分点公式、平移公式，证明正弦定理、余弦定理以外，不要求学生独立地用向量证明平面几何题。

(二)三角函数的内容得到精简

在按照大纲编写三角函数时，注意了以下几方面的问题。

1．严格按大纲的内容与要求进行编写，减少的内 容不再列入课本，要求降低的内容则以例题、习题的形 式出现。同时，也充分注意了内容变化产生的影响，对 相关内容作了相应处理。例如，在这一章中主要讲正弦 与余弦的诱导公式，在后面得出的公式时， 补证了 ，在讨论y=tanx 时，补证 了

。

2．在精简传统内容的同时，也注意了对保留下来 的传统内容的新处理，例如余弦函数y=cosx的图象原 来是利用余弦线画出的，现在则利用将余弦函数的图象看作由正弦函数y=sinx向 左平移个单位得到。这们处理使学生从“形”上加深了对正弦函数、余弦函数的关系的认识，也避免了将余弦线“竖起来”的较为复杂的作图。

3．充分揭示知识的内在联系。本章三角公式较多，在介绍这些公式时，除了强调各自的特点及用途，还指出它们的相互联系与推导线索，做到条理清晰，便于记忆和运用。此外，在本章“小结与复习”中，还利用框图的形式展示了本章知识间的内在联系、逻辑顺序、主从地位，便于学生从整体上把握教学内容。

(三)努力建立合理的教材体系

本册书先安排三角函数，再安排平面向量，并把解斜三角形归入平面向量一章，安排在向量及其运算之后，这样的安排主要基于以下考虑。

1．本套书中数学第一册(上)的第二章函数中介绍了映射与函数，讨论了指数函数与对数函数的图象与性质。先安排三角函数的内容，可以更好地承接函数的内容。

2．先学三角函数，可以为学习平面向量作准备。学习平面向量的某些内容(向量的数量积)，需要用到钝角的三角函数，先讲平面向量，就要局限于锐角三角函数的范围讲，或者插入钝角三角函数的介绍。这样安排不如先学三角函数，学了三角函数，钝角的三角函数的求值也就随之解决了。

3．将解斜三角形的内容安排在平面向量一章中向量及其运算的后面，是因为本册书中，为使学生了解向量的一些应用，正、余弦定理是用向量证明的。这样安排比较紧凑。

4．将平面向量安排在高一第二学期末，便于向量的内容在高二年级教科书有关章节中加以运用。

(四)注意知识的应用

1．注意知识的实际应用

大纲明确了解决实际问题能力的含义。学以致用可以更好地掌握基础知识，又可以提高学生解决实际问题的能力。

本书三角函数一章引言就提出了一个实际问题，以此引入三角函数的内容，并在学习了有关内容之后，解答了这个实际问题。

在解斜三角形部分，不仅安排了应用举例，还安排了实习作业。要利用这些内容，使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，切实培养学生解决实际问题的能力。

本书的实习作业是高中阶段的第一个实习作业，编写时借鉴了义务教育初中数学教科书(人教版)中实习作业的编写经验，从以下几点出发进行考虑。

(1)实习作业紧密结合所在章的教学内容，其目的是巩固学生所学知识、技能，提高学生分析和解决简单的实际问题的能力、培养学生动手操作以及用数学语言表达实习过程和实习结果的能力，增强学生用数学的意识。

(2)实习作业安排学生日常生活中比较熟悉的问题，实习条件易于实现，实习内容以适合小组工作为主，使学生得以在实习中用数学语言互相交流，阐述自己的思想和观点。

(3)实习作业注意渗透思想品德教育，通过实习作业培养学生良好的个性品质和辩证唯物主义的观点。

(4)实习作业的最后，要求写出实习报告，使学生能够把自己对于一个具体问题的认识完整化，并允许发现和列出其他尚待研究的问题。

根据上述想法，本书对照初中制做测倾角器和测量国旗旗杆高度的实习作业，安排了利用解斜三角形测量的实习作业，以期达到理论联系实际的目的。

2．加强学科间的横向联系

解决实际问题的能力包括提出、分析和解决在相关学科中的数学问题。另外，高中课程是一个整体，因此有必要加强学科间的横向联系。

在本书三角函数一章，指出了正弦曲线与物理中正弦电流的联系，安排了“同频率正弦电流相加，频率不变”的阅读材料，因此讲解正弦函数时，可以联系一些它在物理中的背景材料以及它在物理中的应用。

在本书平面向量一章，则更多地利用了物理的背景材料，例如利用位移力、速度、加速度引入向量的概念，利用功的概念引入向量的数量积等等。

总之，要加强相关学科的联系。一方面，利用相关学科的材料引出有关的数学概念和规律；另一方面，引导学生把数学知识应用到相关学科中。

三、使用本书应注意的几个问题

(一)注意与义务教育初中数学内容相衔接

在初中，学生学习了锐角三角函数，解直角三角形及其应用。在本书中，要学习任意角的三角函数，解斜三角形及其应用，由于高中内容是初中相应内容的推广，因而要注意它们的衔接。

例如，应指出用直角三角形有关边的比与用坐标定义锐角三角函数是一致的，而坐标定义对任意角三角函数都适用。这样，既承接了初中的内容．又引出了新内容。再如，由直角三角形的边角满足

引出正弦定理，把勾股定理看作已知两边及其夹角求第三边从而引出余弦定理，都能达到温故知新的效果。另外，由己知元素求未知元素是解直角三角形与解斜三角形的共同思想。

平面向量一章也要利用初、高中内容的联系(如向量运算与数的运算的对比)，搞好初、高中内容的衔接。

(二)注意高中数学各部分内容的相互联系

新高中数学课程为了有利于精简教学内容，提高教学效益，有利于加强数学各部分内容的相互联系与知识的综合运用，将代数、几何等内容综合编排。在本书中，向量的引入，使高中数学各部分内容的联系加强了。例如，利用向量得到了定比分点坐标公式、平移公式以及正弦定理、余弦定理。

此外，高一上学期学习了函数的内容，学习三角函数的内容，要以函数的一般内容(定义域、值域、奇偶性、单调性等)为指导。这样做有助于学生对知识的理解。例如，角的概念的推广，弧度制的引入都是为了讲解三角函数的定义域作准备的。又如，正弦、余弦诱导公式的作用之一是得到关于三角函数奇偶性、周期性的结论。

总之，在教学中，注意知识的整体性，有助于学生将所学知识融汇贯通。需要指出的是，既要注意在旧知识的基础上发展新知识，还要注意新知识对旧知识的影响(如用新方法解决旧问题等等)

(三)注意培养学生良好的个性品质和辩证唯物主义观点

本书中数形结合的内容较多，如三角函数的图象和性质，平面向量用有向线段表示等等，要利用这些内容的特点，引发学生学习的兴趣。要通过循序渐进的教学，使学生掌握基础知识、基本技能，发展能力，同时使他们具有顽强的学习毅力，充分的学习信心，实事求是的科学态度，独立思考、勇于探索创造的精神。

本书内容蕴含了数学来源于实践又反过来作用于实践的观点．蕴含了对立统一、运动变化、相互联系、相互转化等观点。如由于实际的需要产生了三角函数，并使三角函数的理论丰富和发展，同时这些理论又用于解决实际问题。而三角函数的图象、平移等内容则生动地反映了运动变化、相互联系、相互转化的观点。教学中，要利用这些内容对学生进行辩证唯物主义观点的教育，使学生形成科学的世界观。

(薛彬)