本章内容是初中“统计初步”的拓展和深入，初中重点介绍描述性统计，对一组数据来说，用其平均数、众数、中位数来描述其集中趋势，用方差、标准差来描述其波动大小，用频率来描述其规律，此外在用样本估计总体方面，提出了总体、个体、样本、样本的容量等概念，并作为举例，介绍了如何用样本平均数估计总体平均数。在此基础上，本章在描述性统计方面，介绍了与频率分布起着相互补充作用的累积频率分布；在用样本估计总体方面，介绍了用相应于样本的s²、s^*2、（s·s^*）去估计总体方差（标准差），用样本的频率分布频率去估计总体分布，并作为“阅读材料”，介绍了具有“定量估计”特点的“区间估计”（以平均数为例）；应指出，还介绍了抽取样本的几种常用方法。此外，由于上一章学生已学过“概率”，本章开始从概率的角度去阐述一些统计问题，如定义简单随机抽样，说明一些总体的概率分布，提出建立在小概率事件在一次试验中几乎不可能发生原理基础上的统计推断原理等，这样就使得本章在理论要求上比初中提高了一个档次。

    本章教学约需12课时，具体安排如下：

    引言                   约1课时

    1．1 抽样方法          约3课时

    1．2 总体分布的估计    约3课时

    1．3 总体特征数的估计  约2课时

    1．4 实习作业          约1课时

    小结与复习             约2课时

一．内容与要求

    由于本章内容是在初中“统计初步”基础上展开的，在分析本章内容之前有必要对初中“统计初步”的内容作一简要回顾。其内容可概括如下：

    1. 如何描述一组数据的情况

    从整体分布上描述→描述在整体上的分布规律→频率分布

    2. 如何用样本情况估计总体情况{提出总体、个体、样本、样本的容量等概念，用样本平均数估计总体平均数。

    通过对上述内容的学习，学生会计算一组数据的平均数、方差等特征数，会对一组数据进行分组、作出其频率分布、且通过用样本平均数估计总体平均数，对用样本估计总体的统计思想方法有所接触，这样就为本章的学习奠定了基础。

    在本章里，首先介绍了抽样方法。事实上，抽样是用统计方法研究问题的第一步，因为只有合理地从总体中抽取了一个样本，才能更好地通过样本去研究总体。在初中，虽然在必学内容里未介绍抽样方法，但却抽取的样本应力求对总体具有较好的代表性的思想进行了渗透，从而为本章的学习作了铺垫。统计中所涉及的抽样方法很多，本章中只是介绍其中最为常用的几种抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。这三种抽样方法的共同特点是：它们都是不放回抽样，即每次从总体中抽取的个体不再放回总体；它们又都是等概率抽样，即在抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等。其中，简单随机抽取又是最简单、最基本的抽样方法，系统抽样与分层抽样均以它为基础。这三种抽样方法各有其特点和适用范围，需在抽样实践中酌情选用。

    紧接着，教科书介绍了总体分布的估计。在初中，已学习了对于个体数很多的总体，如何就从中所抽取的样本进行数据整理，得到其频率分布，但还没有引伸到如何用它去估计总体的分布。到了本章，由于重点已从描述性统计转向推断统计，将在初中基础上继续介绍如何用样本的频率分布去估计总体分布的问题，这里比初中讨论得更为详尽的是，将总体分成了两类，一类是其个体取不同数值很少的总体，一类是其个体取不同数值较多、甚至无限的总体，并对两类总体就用频率分布对其进行估计的问题进行了分别研究。个体取不同数值很少的总体不只是指个体数很少的总体，这类总体中的个体数可以很多，例如掷硬币的次数、多次重复射击的环数等，对于这类总体来说，其频率分布表是列出几个不同数值的频率，相应的条形图是用其高度来表示频率（由于受课时数限制，初中未重点研究这类总体）；而对于取不同数值较多的总体来说，其频率分布表是列出在各个不同区间内取值的频率，相应的直方图是用图形的面积来表示频率的大小，这种因对象特点不同而采用不同研究方法的情况，与概率理论中因随机变量属于离散型还是连续而采用不同研究方法的情况是完全相响应的。

    在教科书的这一部分，还介绍了累积频率分布。实际上，累积频率是从另一角度反映了一组数据的频率分布情况，它与频率分布起着相互补充的作用，因此在频率分布表中常设一列“累积频率”，而且常在频率分布直方图下面画出累积频率分布图。由于累积频率分布图是一条折线，利用它可以近似得到样本数据在任意两点间的频率，因而在对总体进行相应估计时它比首尾两点限于数据分组时的端点值的频率分布表（或图）要优越一些。

    在研究连续型总体分布的基础上，介绍了“生产过程中的质量控制图”，以呈正态分布的一个总体为例，提出了“小概率事件”的概念，进而提出了假设检验的基本思想及其操作步骤，从而使学生对统计中的某些推断方法初步有所感悟。

    教科书接下去介绍总体特征数的估计，主要是在初中介绍用样本平均数估计总体平均数的基础上，介绍了总体方差σ²的估计问题。对于总体方差的估计量，除了初中介绍的样本方差外，又提出了一个估计量：
s^*2=

    这是因为s^*2作为一个估计量具有一种“无偏性”，即它作为一个随机变量取的值总是在σ²附近波动并以其为期望值，另一方面，用s^*2去估计σ²显得比较自然，容易理解，即使安排在初中学习也不会感到困难，而且尽管用它估计σ²略有偏离，但当样本容量较大时，两者的差别可以忽略不计，这正是不少概率统计书中同时提到的这两个量，一些科学计算器上同时设有这两个量的计算键的原因所在。基于上述情况，教科书可将这两个估计量并列提出，对于总体标准差的估计量，也作了类似处理。

    在讲了总体特征数的估计之后，作为“阅读材料”教科书又介绍了进行这种估计的另一方法——区间估计，为了区别起见前面介绍的总体特征数的估计称为点估计，点估计要粗略一些，因为我们并不知道估计的可靠程度有多大；相对来说区间估计要精确一些，因此它可以告诉你被估计的值将以多大的概率落入某一区间，带有“定量估计”的特点。由于区间估计较为复杂，教科书只是通过简单的实例介绍基本思想，这样，就可使部分学有余力的学生能从一个更高的角度去认识前面所学过的点估问题。

    本章的最后是，通过一个实习作业，对全章的大部分内容进行一次复习，给学生提供一次自己动手解决简单实际问题的机会，以培养他们综合运用所学知识解决实际问题的能力。

    本章的教学要求是：

    1.会用简单随机抽取、系统抽样、分层抽样等方法从总体中抽取样本。

    2.会用s^*2、s²去估计总体方差σ²，会用s^*、s去估计总体标准差σ。

    3. 会用样本频率分布去估计总体分布。

    4.了解累积频率分布的意义，会根据样本的频率分布求得其累积频率分布。

    5.通过生产过程中的质量控制图了解假设检验的基本思想。

二．本章编写的主要特点

    1. 在复习初中“统计初步”的基础上进行编写。

    本章与初中“统计初步”关系十分紧密，可以说它是初中“统计初步”的十分自然的扩展与深化，但由于学生在学习初中“统计初步”后直到学习本章之前，基本上没有机会复习“统计初步”的内容，对这些内容的遗忘程度会相当高。因此，本章在编写时非常注意联系初中“统计初步”的内容来展开新课，例如，在讲抽样方法的时重温：在初中已经知道，通常我们不是直接研究一个总体，而是从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的相应情况，由此说明样本的抽取是否得当对研究总体来说十分关键，这样就会使学生认识到学习抽样方法十分重要。又如在讲“总体特征数的估计”时，首先复习了在初中学过的总体平均数、总体方差的意义，复习了通常用样本平均数去估计总体平均数，在此基础上，来展开本节所要讨论的总体方差估计问题。

    2. 突出统计的基本思想方法。

    统计中的基本思想方法是统计理论的精髓，虽然限于要求本章不可能详细介绍有关统计知识，但注意将统计的一些基本思想方法贯穿在全章内容之中，在本章中体现的统计基本思想方法是：通过样本来研究总体；抽取样本时要体现一种公平性，即要使总体中的每一个体被抽取的概率相等；用样本的有关情况去估计总体的相应情况，样本容量越大这种估计就越精确等。例如在“抽样方法时，都强调了对该抽样方法来说，总体中的每个个体被抽取的概率都是相等的；又如在“总体分布的估计“这一小节，为了说明当样本容量很大时，样本的频率分布可以非常接近总体分布，举出了一个历史上曾经做过的抛掷硬币的著名试验，由于试验次数（即样本容量）大到72088，结果频率分布与总体分布的差别完全可以忽略不计。

    3. 力求深入浅出，不追求理论的严密性。

    本章虽然在内容与要求上比初中“统计初步”略有提高，但总的看来仍属于统计中的一些较为初步的知识。事实上，今日的统计学是建立在概率的理论基础之上的，而由于我们对概率知识掌握得很少，不可能对统计介绍得很严格，例如要证明采用简单随机抽取进行抽样时，总体中的每一个被抽取的概率相等，一个简单的办法是运用有关条件概率的知识来进行说明，但由于条件概率前面未学，为便于接受，教科书就采用了用实例进行说明的方法。又如，为估计总体方差σ²，提出了两个估计量s^*2与s²，并说明当样本容量较小时用s^*2更好些，使学生了解这两个估计量的意义并会解决简单的有关实际问题就行了，至于其中的道理，难以讲清，教科书就不作深入讨论。

    4. 重视培养学生的应用能力和动手能力。

    本章的实用性和实践性较强，是培养学生应用能力和动手能力的好素材。因此本章所安排的例、习题，以联系学生生活实际的题较多，这样有利于引起学生的学习兴趣，使他们充分感受统计知识的实际应用。例如，本章中所介绍的“实习作业”就是关于统计学生参加象这类实习作业以及某些习题，是需要靠若干学生分工合作、共同完成的，因此完成这类作业与习题有利于学生进行相互交流，有利于培养他们的合作精神。

三、教学中应注意的问题

    1. 注意把握教学要求

    上面谈到，本章所介绍的仍属于统计中的一些初步知识，而且在讲述时重在概念和结论的实际意义及其应用，在理论上未作太高要求，因此，希望在教学中也奠循这一做法，不必在理论上进行补充，去企图讲清教科书已作淡化处理的一些问题，例如，可不必严格证明对于简单随机抽样来说，在整个抽样过程中总体里的每个个体被抽取的概率相等；不必从理论上去探讨正态分布的性质；不必对总体方差的两个估量s²与s^*作更深入的比较等等。

    2. 要求学生学会用科学计算器处理统计计算

    统计是与数据打交道，处理问题时常计算量大而且比较复杂，如果不用科学计 算器将会寸步难行。首先，要让学生备有这种计算器，如果实在受经济条件限制不能做到人手一个，学校应备有若干计算器提供给学生使用，或者将班级里部分学生拥有的计算器安排给全班学生共同使用。其次，要求学生重视用科学计算器处理统计计算的技能训练。在这个问题上，一些学生可能或认为它只是一些“死规定”而并不难掌握，或认为它比较费事会占用不少时间，或认为它不便于考查而抱有侥幸心理，从而造成对这种训练的不够重视。为此，教学中一方面要说明掌握这种技能的重要性，另一方面也要采取一些措施进行指导和考查。

    3. 将应用题的训练和实习作业落到实处

    本章中的应用题占的比例较大，而且还有实习作业。其中的部分作业需要走出课堂，协作完成。由于它们操作性强而难度又不大，在已进入高中三年级，“高考”临近的情况下，学生可能对所布置的作业不予重视，不去实实在在的完成。这样，就会使本章培养学生应用能力和动手能力的教学目标大打折扣，影响了本章的学习效率。为了防止这种情况的出现，教师一方面要向学生讲清道理，另一方面也要订出一些措施作为保证，例如对完成作业的要求要更加明细，教师亲自参与实习作业等。

四 有待研究的问题

    1. 在高中数学限定选修课的“统计”里,到底学哪些内容较好

    在本章“总体分布的估计”、“总体特征数的估计”这两小节里，多数内容均属于从初中移上来的。在制订高中数学教学大纲时，由于担心原初中“统计初步”的知识学生学得不够扎实，又考虑到初中属于义务教育性质需要降低要求，就将其中部分内容移到本章里。但由于这些内容又占去了不少课时，使区间估计，统计检验等重要且学生可以接受的知识难以安排，因此修订《大纲》时，宜重新通盘安排一下中学里对统计知识的学习，其中作为限定选修课里的统计知识应是更为适合学生程度的。

    2. 如何切实保证本章教学的实际效果

    由于统计知识的实践性较强，在限时书面答卷的情况下不易考查学生的学习情况，于是多年来一些地区初中“统计初步”的教学效果并不理想。本章的学习也会面临类似的情况。由于未明确“高考”时可携带科学计算器，在“高考”中对本章内容进行考查也会遇到一定困难。这就表明，如何使学生充分重视本章的学习并能达到预期的学习效果，确是需要认真研究的一个问题。

（铙汉昌）