高中数学(试验本)的第三章是《数列》(含数学归纳法)。《新大纲》里，数列与数学归纳法这些内容之所以在又一次内容精选中校保留下来，是由其在整个中学数学里的重要地位所决定的。

首先，数列，特别是等差数列与等比数列，有着较为广泛的实际应用。如各种产品尺寸常要分成若干等级，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级，比如鞋的尺码；当其中的最大尺寸与最小尺寸相差较大时(这种情况是多数)，常按等比数列进行分级，比如汽车的载重量、包装箱的重量等。特别值得一提的是，数列在产品尺寸标准化方面有着重要作用。例如在我国已颁布的供各种生产部门设计产品尺寸用的国家标准，就是按等比数列对产品尺寸进行分级的。

其次，数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，而学习数列又为后面学习数列与函数的极限等内容作了铺垫。应该说，新课本采取将代数、几何打通的混编体系的主要目的是强化数学知识的内在联系，而数列正是在将各知识沟通方面发挥了重要作用。

至于数学归纳法，则是数学里一种重要的证明方法，它不仅在处理中学里有关数与多项式、不等式、三角变形、排列组合等问题中发挥着重要作用，而且在进一步学习高等数学时也是一个必要的准备知识。

最后，由于不少关于恒等变形、解方程(组)以及一些带有综合性的数学问题都与等差数列、等比数列有关，学习这一章便于对学生进行综合训练，从而有助于培养学生综合运用知识解决问题的能力。

本章教学约需16课时，具体分配如下：

3.1数列 约2课时

3.2等差数列 约2课时

3.3等差数列的前n项和 约2课时

3.4等比数列 约2课时

3.5等比数列的前n项和 约2课时

3.6数学归纳法及其应用举例 约6课时

小结与复习 约2课时

一、内容与要求

依据《新大纲》，这一章在安排上与现行课本有所不同：将数列、数学归纳法与极限分开，而且从高二提前列高一(上)来学习。这是基于：

数列、数学归纳法属于必学内容，而极限与新增加的微积分初步知识一起列入了高三限定选修课的内容；

数列从知识上看较为简单易学，这样可借助于其知识联系面广的特点对初中所学内容起到复习和深化的作用；

数列本身是一种持殊函数，让它紧接在第二章“函数”之后，有助于加深对函数概念的理解。

本章从内容上看，可以分为数列、等差数列、等比数列、数学归纳法四个部分。

在数列这一部分，主要介绍数列的概念、分类，以及给出数列的两种方法。关于数列的概念，先给出了一个描述性定义，尔后又在此基础上，给出了一个在映射、函数观点下的定义，指出：“从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值”。这样就可以将数列与函数联系起来，不仅可以加深对数列概念的理解，而且有助于运用函数的观点去研究数列。关于给出数列的两种方法，其中数列的通项公式，教材已明确指出它就是相应函数的解析式。点破了这一点，数列与函数的内在联系揭示得就更加清楚。此外，正如并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。递推是数学里的一个非常重要的概念和方法，数学归纳法证明问题的基本思想实际上也是“递推”。在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式。但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担。考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了。

在等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：例如从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线)。在推导等差数列前n项和的公式时，突出了数列的一个重要的对称性质：与任一项前后等距离的两项的平均数都与该项相等，认识这一点对解决问题会带来一些方便。

在等比数列这一部分，在讲等比数列的概念和通项公式时也突出了它与指数函数的联系。这不仅可加深对等比数列的认识，而且可以对处理某类问题的指数函数方法和等比数列方法进行比较，从而有利于对这些方法的掌握。

在数学归纳法这一部分，由于从知识的角度看它比前面的数列稍难一些，教材比较注意把握教学要求，只要求学生初步了解数学归纳法的意义，用数学归纳法证明问题的类型限于求和、多项式整除与某些几何问题。而随着学习的深入，再逐步要求用数学归纳法去证明有关三角、不等式等方面的问题。

在讲数学归纳法时，已提出了归纳法的概念，并指出在证明与正整数有关的命题时，仅用不完全归纳法是不可靠的。为使学生对所涉及的几种方法及其联系与区别有进一步的了解，教材安排了一段阅读材料“不完全归纳法和完全归纳法”。指出用不完全归纳法得出的结论虽不可靠，但它在问题的探索求解中起着重要作用；指出完全归纳法是一种常用的证明方法，它得出的结论可靠，但仅在事物涉及的特殊情况数不多时适用。在此基础上指出，与完全归纳法是在事物仅涉及有限种特殊惰形的基础上得出一般结论不同，数学归纳法是证明与正整数有关的一类命题的方法。而数学归纳法与不完全归纳法的关系是：它们常常结合起来使用，用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明结论。

二、本章的特点

(一)在启发学生思维上下功夫

本章内容，是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材，因而在编写教材时注意充分利用这一点，使学生在获得知识的基础上，观察和思维能力得到提高。

在问题的提出和概念的引入方面，为了引起学生的兴趣，在本章的“前言”里用了一个有关国际象棋棋盘的古代传说作为引入的例子。它用一个涉及求等比数列的前n项和的麦粒数的计算问题给学生造成了一个不学本章知识、难获问题答案的悬念，又在学了等比数列后回过头来解开这个悬念；在讲等差数列与等比数列的概念时，都是先写出几个数列，让学生先观察它们的共同特点，然后在归纳共同特点的基础上给出相应的定义。

在推导结论时，注意发挥它们在启发学生思维方面的作用。例如在讲等差数列前n项和的公式时，没有平铺直叙地推导公式，而是先提出问题：

1+2+3+...+100=?

并指出著名数学家高斯10岁时便很快算出它的结果，以激发学生的求解热情，然后让学生在观察高斯算法的基础上，发现上述数列的一个对称性质：任意第k项与倒数第k项的和均等于首末两项的和，从而为顺利地推导求和公式铺平了道路。

在例、习题的表述方面，适当配备了一些采用疑问形式的题，以增加问题的启发成分。如“3.3例4”本是一道证明题，教材将它改为：“已知数列的通项公式为an=pn十q，其中p、q是常数，且，那么这种数列是否一定是等差数列?如果是，其首项与公差是什么?”又如，将一个证明题改用了疑问形式表述:“如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，那么这个数列有什么特点？”这样就增加了题目的研究性。增加了像“小结与复习”里例2那样的先猜想结论，然后证明结论的例题，以培养学生综合运用猜想证明等手段的能力。在讲有些例题时，加了一小段“分析”，通过不多的几句话点明解题的思路。如对于上面提到的“3.3例4”，加的一段“分析”是：“由等差数列定义，要判定{an}是不是等差数列，只要看是不是一个与n无关的常数就行了”。话虽不多，但突出了“从定义出发”这种最基本的证明方法。

(二)加强了知识的应用

现行教材中的应用题基本保留，并在此基础上适当增加了一些应用问题。如作为等比数列的应用安排了一个近几年与人们日常生活有关的购物分期付款的例题;作为等差数列的应用，在“阅读材料”里介绍了有关储蓄的一些计算；此外在所增加的应用问题里还涉及房屋拆建规划、绕在圆盘上的线的长度等。

(三)呼应前面的逻辑知识，加强了推理论证的训练

原来学习数列时,主要强调了计算，要求学生会根据公式求数列中的项和前n项的和。考虑到《新大纲》更加重视对学生逻辑思维能力的培养，且在前面第一章已介绍了“简易逻辑”，为进行推理论证作了准备，紧接着又在第二章“函数”里进行了一定的推理论证训练，因此与现行教材相比，本草在推理论证方面有所加强。比如，上面提到的“3.3例4”实际上是一道证明题；“3.4例3”也是一道证明题：“已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证

{an·bn}是等比数列。” “复习与小结”里的例题1虽是现行教材中的题，但在表述上采用了“充要条件”的说法：“求证：在直角三 角形中，三条边的长成等差数列的充要条件是它们的 比为”，而且在从正反面进行证明时采用了“必要性”、“充分性”的说法；在教材正文的讲述中也注意 与前面的逻辑知识呼应，如在讲成等差数列的三个数 的性质时，顺水推舟地安排了一个“想一想”：“是a，A，b成等差数列的充要条件吗?”这实际上只是将上面的结论换成了充要条件的说法，教材企图通过这些做法，增加前面所学的逻辑概念的复现和应用机会，以达到加深理解。

(四)注意渗透一些重要的数学思想方法

由于本章处在知识交汇点的地位，所蕴含的数学思想方法较为丰富，教材在这方面也力求充分挖掘。上面几次提到教材注意从函数的观点去看数列，在这种整体的、动态的观点之下使数列的一些性质显现得更加清楚，某些问题也能得到更好的解决，例如“复习参考题B组第2题”便是一个典型例子。方程或方程组的思想也是体现得较为充分的，不少的例、习题均属这种模式：已知数列满足某某条件，求这个数列。这类问题一般都要通过列出方程或方程组．然后求解。关于递推的思想方法，不仅在数列的递推公式里有所体现，而且它已成为理解数学归纳法原理的必要观念。观察、归纳、猜想、证明等思想方法的组合运用在本章里得到了充分展示．为学生了解它们各自的作用、相互间的关系并进行初步运用提供了条件。

三、教学中应注意的几个问题

(一)把握好本章的教学要求

由于本章联系的知识面广，具有知识交汇点的特点，在应试教育的“一步到位”的教育思想的影响下，本章的教学要求很容易拔高，过早地进行针对“高考”的综合性训练，从而影响了基本内容的学习和加重了学生负担。事实上，学习是一个不断深化的过程。作为在高一(上)学习的这一章，应致力于打好基础并进行初步的综合训练，在后续的学习中通过对本章内容的不断应用来获得巩固和提高。最后在高三数学总复习时，通过知识的系统梳理和进一步的综合训练使对本章内容的掌握上升到一个新的档次。为此，本章教学中应特别注意一些容易膨胀的地方。例如在学习数列的递推公式时，不要去搞涉及递推公式变形的论证、计算问题，只要会根据递推公式求出数列的前几项就行了；在研究数列求和问题时，不要涉及过多的技巧；在学习数学归纳法时，不要求学生用数学归纳法去证明一些难度较大的问题。

(二)有意识地复习和深化初中所学内容

与现行中学课本一样，新课本由于课时较紧等多种原因．在教学内容方面基本上也是直线编排的，对于初中学过的多数知识．在高中没有系统深入学习的机会。而初中内容是学习高中数学的必要基础，因而在学习高中内容时有意识地复习、深化初中内容显得特别重要。本章是高中数学的第三章，距离初中数学较近，与初中数学的联系最广，因而教学中应在沟通初、高中数学方面尽可能多地作一些努力。例如：

在等差数列、等比数列的通项公式和前n项和的公式中，涉及a1、an、n、d(或g)、Sn几个量之间的关系，我们常常要通过将公式变形用其中的已知量来表示未知量。在这过程中，应有意识地复习等式的变形，提醒并及时纠正在变形中容易出现的错误。在根据有关公式和已知条件求未知量(比如求某一项时)，常常要列出方程或方程组，然后求解。在这过程中，让学生认识我们的问题实际上是解一个方程或方程组，然后分析其中哪些是已知量，有几个末知量，能不能求解，怎样求解。通过这种有意识的分析，不仅复习了解方程和方程组的知识。而且了解了它的应用，培养了用方程或方程组解决问题的意识。

(三)适当加强本章内容与函数的联系

适当加强这种联系，不仅有利于知识的融汇贯通，加深对数列的理解，运用函数的观点和方法解决有关数列的问题，而且反过来可使学生对函数的认识深化一步。比如，学生在此之前接触的函数一般是自变量连续变化的函数，而到本章接触到数列这种自变量离散变化的函数之后，就能进一步理解函数的一般定义，防止了前面内容安排可能产生的学生认识上的负迁移；

本章内容与函数的联系涉及以下几个方面。

1．数列概念与函数概念的联系。

相应于数列的函数是一种定义域为正整数集(或它的前n个数组成的有限子集)的函数，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数。从这个意义上看，它丰富了学生所接触的函数概念的范围。但数列与函数并不能划等号，数列是相应函数的一系列函数值。基于以上联系，数列也可用图象表示，从而可利用图象的直观性来研究数列的性质。数列的通项公式实际上是相应因数的解析表达式。而数列的递推公式也是表示相应函数的一种方式，因为只要给定一个自变量的值n，就可以通过递推公式确定相应的f(n)。这也反过来说明作为一个函数并不一定存在直接表示因变量与自变量关系的解析式。

2．等差数列与一次函数、二次函数的联系。

从等差数列的通项公式可以知道，公差不为零的等差数列的每一项an是关于项数n的一次函数式。于是可以利用一次函数的性质来认识等差数列。例如，根据一次函数的图象是一条直线和直线由两个点唯一确定的性质，就容易理解为什么两项可以确定一个等差数列。

此外，首项为a1、公差为d的等差数列前n项和的公式可以写为：

即当时，Sn是n的二次函数式，于是可以运用二次函数的观点和方法来认识求等差数列前n项和的问题。如可以根据二次函数的图象了解Sn的增减变化、极值等情况。

3．等比数列与指数型函数的联系。

由于首项为a1、公比为q的等比数列的通项公式可以写成

它与指数函数y=ax有着密切联系，从而可利用指数函数的性质来研究等比数列。

(四)注意等差数列与等比数列的对比，突出两类数列的基本特征

等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，包括：定义、性质(等差还是等比)、通项公式、前n项和的公式、两个数的等差(等比)中项。具体问题里成等差(等比)数列的三个数的设法等。因此在教学与复习时可采用对比方法，以便于弄清它们之间的联系与区别。顺便指出，一个数列既是等差数列又是等比数列的充要条件是它是非零的常数列。

教学中应强调，等差数列的基本性质是“等差”，等比数列的基本性质是“等比”，这是我们研究有关两类数列的主要出发点，是判断、证明一个数列是否为等差(等比)数列和解决其他问题的一种基本方法。要让学生注意，这里的“等差”(“等比”)，是对任意相邻两项来说的。

上述基本性质，引申出两类数列的一种对称性：即与数列中的任一项“等距离”的两项之和(之积)等于该项的2倍(平方)，即设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，那么

利用上述性质，常使一些问题变得简便。例如在推导等 差数列的前n项和的公式时，就用到了上述对称性。又 如，在具体问题里设成等差(等比)数列的三个数时， 常利用其对称性将它们设成

若是4个数列则设成

，

从而可简化问题的求解。

对于学有余力的学生，还可指出等差数列与等比数列描述了两种最简单、最重要的变化：等差数列描述的是一种绝对均匀变化，等比数列描述的是一种相对均匀变化。非均匀变化通常要转化或近似成均匀变化来进行研究，这就成为教材之所以重点研究等差数列与等比数列的主要原因所在。

(五)注意培养学生初步综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法的能力

综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学，是一种非常重要的学习能力。事实上，在问题探索求解中，常常是先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳方法进行试探，提出猜想；最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想。应该指出，能够充分进行上述研究方法训练的素材在高中数学里并非很多，而在本章里却多次提供了这种训练机会，因而在教学中应该充分利用，不要轻易放过。

(六)在符号使用上与国家标准一致

为便于与国际交流，关于量和单位的新国家标准中规定自然数集N＝{0，l，2．3，……}，即自然数从O开始。这与长期以来的习惯用法不同，会使我们感到别扭。但为了不与上述规定抵触，教学中还是要将过去的习惯用法改变过来，称数集{1，2，3，…}为正整数集，并记为N+。

四、有待研究的问题

(一)关于“数学归纳法”在教材中的位置是否偏前的问题

关于数学归纳法，多年来一直是在高中三年级或三年级学习。新课本将它与数列并成一章放在高中一年级上学期学习，从数列看学生接受起来难度不大，但对于以自然数公理为基础的数学归纳法，高中一年级的学生理解起来是否会有困难，还有待于在教材试验中进一步研究。

此外，由于数学归纳法的靠前安排，用它证明问题的类型比过去有所减少，只能涉及数的恒等式、多项式整除和某些几何问题。考虑到如果涉及的问题类型过少；不利于进行用数学归纳法证题的训练，因而新课本涉及的问题类型包括了几何问题。但问题是，像类似于课本里“3.6例5”(有关平面内n条直线的交点个数问题)这样的问题，对高中一年级学生来说能否接受，还不能说很有把握。

(二)关于数列的递推公式的教学要求是否得当

关于数列的递推公式，由于“高考”曾在这个问题上大做文章，从而增加了学习负担，使现行大纲和新大纲在这个向题上规定了一个“死扛扛”：“对于用递推公式给出的数列，限于要求根据递推公式写出数列的前n项。”但这样一来，是否又矫枉过正、要求太低了?能否在学生可以接受的情况下，给递推思想及公式更大一点的发挥余地?比如，是否可以提出用递推的思想来理解等差数列和等比数列?实际上，只有在递推的观点下，等差数列才是“等差”的，等比数列才是“等比”的。又如，对于一些简单的问题，从中归纳出其递推公式是常遇到的，可否列为教学要求?

（饶汉昌）