《全日制普通高级中学教科书(试验本)·数学》第一册(上)的第二章为函数，是根据《全日制普通高级中学数学教学大纲(供试验用)》(以下简称《新大纲》)必修课的函数部分编写的。

《新大纲》的“函数”部分与《全日制中学数学教学大纲(修订本)》(以下简称《原大纲》)的“幂函数、指数函数和对数函数”部分有较大的变化。《原大纲》中的“集合、子集、交集、并集、补集”单独列出，作为《新大纲》的“集合与简易逻辑”中的“集合”时内容；同时删去了“幂函数及其图象、换底公式、简单的指数方程和对数方程”等内容；《新大纲》还增加了“函数的应用举例”等内容。

《新大纲》函数部分内容如下：

映射、函数、函数的单调性，函数的奇偶性;

反函数、互为反函数的函数图象间的关系；

指数概念的扩充、有理指数幂的运算性质、指数函数；

对数、对数的运算性质、对数函数；

函数的应用举例。

新编课本函数这章将上列13个知识点合并为9个。函数的单调性和函数的奇偶性都是讲函数的一般性质，研究的方法都是借助函数的图象直观地给出结论，因此将这两个知识点合并为一节；《原大纲》要求“掌握互为反函数的函数图象之间的关系”，《新大纲》要求改为“了解互为反函数的函数图象之间的关系”，由于教学要求降低，新课本处理上删去了互为反函数的函数图象关于直线y=x对称性的证明，只结合图象说明结论的正确性，这样这个知识点就不单独列为一节，并入“反函数”一节中；指数概念的扩充与有理指数幂的运算性质合并为一节，对数与对数的运算性质合并为一节。这样做为了控制教学内容和适当降低教学要求。这样，新课本第二章函数分三个单元共9节。

函数这章共需30课时，具体分配如下：

一映射与函数

2.1映射 约1课时

2.2函数 约2课时

2.3函数的单调性和奇偶性 约3课时

2.4反函数 约3课时

二指数与指数函数

2.5指数 约4课时

2.6指数函数 约3课时

三对数与对数函数

2.7对数 约4课时

2.8对数函数 约2课时

2.9函数的应用举例 约3课时

小结与复习 约4课时 一、内容与要求

函数是数学的重要的基础概念之一。进一步学习的数学分析，包括极限理论、微分学、积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程，无一不是以函数作为基本概念和研究对象的。其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具。函数的教学内容蕴涵着极其丰富的辩证思想，是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材。函数的思想方法也广泛地诊透到中学数学的全过程和其他学科中。

函数是中学数学的主体内容。它与中学数学很多内容都密切相关，初中代数中的“函数及其图象”就属于函数的内容，高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体，通过这些函数的研究，能够认识函数的性质、图象及其初步的应用。后续内容的极限、微积分初步知识等都是函数的内容。数列可以看作整标函数，等差数列的通项反映的点对(n，an)都分布 在直线y＝kx+b的图象上，等差数列的前n项和公式 也可以看作关于的二次函数关系式，等比 数列的内容也都属于指数函数类型的整标函数。中学的其他数学内容也都与函数内容有关。

函数在中学教材中是分三个阶段安排的。第一阶段是在初中代数课本内初步讨论了函数的概念、函数的表示方法以及函数图象的绘制等，并具体地讨论正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，通过计算函数值、研究正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的慨念和性质，理解函数的概念，并用描点法可以绘制相应函数图象。新课本函数一章以及本书的第四章三角函数的内容是中学函数教学的第二阶段，也就是函数概念的再认识阶段，即用集合、映射的思想理解函数的一般定义，加深对函数概念的理解，在此基础上研究了指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的概念、图象和性质，从而使学生在第二阶段函数的学习中获得较为系统的函数知识，并初步培养了学生的函数的应用意识，为今后学习打下良好的基础。第二阶段的主要内容在本章教学中完成。第三阶段的函数教学是在高中三年级数学的限定选修课中安排的，理科限定选修内容有极限、导数、积分，文科和实科限定选修内容有极限与导数，这些内容是函数及其应用研究的深化和提高，也是进一步学习和参加工农业生产需要具备的基础知识。

(一)内容安排

第一单元是映射与函数，包括映射、函数、函数的单调性和奇偶性、反函数等4节，是全章的基础。

映射是在学习完集合的基本概念之后学习的。它是两个集合的元素与元素的对应关系的一个基本概念。学习集合的映射概念的目的主要为了给函数下定义。映射中涉及的“原象的集合A”“象的集合B”以及“从集合A到集合B的对应法则f”可以更广泛的理解。集合A、B不仅仅是数集，还可以是点集、向量的集合等，本章主要是指数的集合。随着内容的增多和深入，可以逐渐加深对映射概念的理解，例如实数对与平面点集的对应，曲线与方程的对应等都是映射的例子。映射是现代数学的一个基本概念。

本章的函数是用映射刻画的近代定义，初中代数中是用“对应”来描述的函数概念，这两个函数定义反映了函数概念发展的不同阶段。初中学生的数学知识较少，接受能力有限，用原始概念“对应”一词来描述函数定义是合适的，高中学习了映射概念，接受能力有所提高，又学习了较多的函数实例，用映射刻画的函数定义，对高中生是适合的。这两个定义在实质上是一致的。两个定义中的定义域和值域的意义相同，两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同。

函数的单调性和函数的奇偶性是函数的重要性质之一，中学函数教材研究的函数性质主要有单调性、奇偶性、周期性以及连续性等，本章研究的单调性和奇偶性是从观察函数图象的特性，然后给出一般的定义，作为代数方面证明的开始和基础。这也是学生接受的难点所在。周期性是结合三角函数内容讲授的，连续性安排在函数极限之后学习。这样一是为了分散难点，另外一方面结合具体函数讲授能够直接应用，也有利于巩固这些知识的学习。

反函数也是函数，因为它符合函数的定义。中学不讲逆映射，所以反函数的概念只能以变量及对应关系来说明它的含义。中学里讲授的函数内容主要以解析式表示的函数为主，因此，求反函数主要借助初中学习的方程知识来解决，函数与反函数的图象间的关系是观察具体函数的图象给出了结论，学生接受起来也不难。

第二单元是指数与指数函数，指数函数是基本初等函数之一，应用非常广泛。它是在本章学习完函数概念和两个基本性质之后较为系统地研究的第一个初等函数。

为了学习指数函数应该将初中学过的指数概念进行扩展，初中代数中学习了正整数指数、零指数和负整数指数的概念和运算性质。本章在此基础上将指数概念扩充到有理指数幂，并给出了有理指数幂的运算性质。在分数指数幂概念之后，新课本也注明“若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数”。为高中三年级限定选修课学习导数时做准备。

指数函数的概念从实际问题引入，这样既说明指数函数的概念来源于客观实际，也便于学生接受和培养学生用数学的意识。函数图象是研究函数性质的直观图形。指数函数的性质是利用图象总结出来的，这样便于学生记忆其性质和研究变化规律。本节安排了图象的平行移动的例题，一是为了与初中讲二次函数图象的变化相呼应，二是为以后各章学习函数或向量的平移做些准备。

第三单元是对数与对数函数。对数产生于17世纪初叶，为了适应航海事业的发展，需要确定航程和船舶的位置，为了适应天文事业的发展，需要处理观测行星运动的数据，就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数。恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为17世纪数学的三大成就，给予很高的评价。今天随着计算器的普及和电子计算机的广泛使用以及航天航海技术的不断进步，利用对数进行大数的计算功能的历史使命已基本完成，已被新的运算工具所取代，因此中学对于传统的对数内容进行了大量的删减，《原大纲》初中三年级的“常用对数、对数的首数和尾数、对数表、反对数表、利用对数进行计算”等内容基本删去。但对数函数应用还是广泛的，后续的教学内容也经常用到。

本单元讲对数的定义和运算性质的目的主要是为了学习对数函数。对数概念与指数概念有关，是在指数概念的基础上定义的，在一般对数定义logaN(a>0,a≠1)之后，给出两个特殊的对数：一个是当底数a=10时，称为常用对数，简记作lgN=b；另一个是底数a=e(一个无理数)时，称为自然对数，简记作lnN=b。这样既为学生以后学习或读有关的科技书给出了初步知识，也使教材大大简化，只保留到学习对数函数知识够用即可。

对数函数是指数函数的反函数，新课本是根据互为反函数的两个函数的图象间关于直线y=x对称的性质，引入对数函数的定义和相应的性质。用这种讲法，可以加深和巩固学生对互为反函数的函数图象之间的关系的认识，便于与指数函数的图象和性质相对照，教材紧扣对数函数是指数函数的反函数这个本质联系来讲述对数函数的概念、图象和性质的。

函数应用举例是本章教材的最后一节，是全章综合知识的运用。在学习了函数的概念、函数的性质、指数函数和对数函数之后，安排这节内容。

本节共选三个例题。

例1是建立函数关系式，这是实际问题抽象成数学问题的第一步，也是函数应用极其重要的关键的一步。这类问题一般有两类。一类是根据几何图形的性质或物理等学科的知识建立函数关系。这类问题往往学生容易接受，传统的中学数学教材中有一些这方面的题目。另一类是通过观察、实验建立函数关系，如经验公式就属于这类问题，自由落体的公式也是属于这类问题，这类问题较难，本节教材没有涉及此类问题。对于学有余力的学生可以介绍些课外阅读材料来训练这方面的能力，但教学上不要提高这方面的要求而讲授这类问题。

例2是增长率计算的问题．例题中给出的公式y=N(1+P)x的应用非常广泛。复利的计算是这方面的问题，其他如人口增长率、国民生产总值增长率等都属于这方面的问题，日常生活中遇到的销售利润的计算也会涉及这类问题。

例3是物理方面的问题，这是给出函数关系式，根据题中的已知条件确定参数的问题。这类问题涉及方程组的知识和比较复杂的计算。

函数的应用是极其广泛的，这里只通过几个简单的例题予以说明。应用意识的培养和应用能力的提高是高中数学教学培养能力的总的目的之一，应该贯穿于数学教学的全过程。

本节的教学要求是通过几何图形的函数关系建立、增长率的计算、物理大气压强公式的运用等实际问题的教学，以及课后配备的练习、习题的训练，初步培养学生用数学的意识，逐步提高分析问题、解决实际问题的能力。

(二)教学要求

1．了解映射的概念，在此基础上加深对函数概念的理解；

2．理解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程；

3．了解反函数的概念，了解互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数；

4．理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质；

5．掌握指数函数的概念、图象和性质；

6．理解对数的概念，掌握对数的运算性质；

7．掌握对数函数的概念、图象和性质；

8．能够运用函数的概念、函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题；

9．在解题和证题过程中，通过运用有关的概念和运用函数的性质，培养学生的思维能力和运算能力；通过揭示互为反函数的两个函数之间的内在联系，以及指数与对数，指数函数与对数函数之间的内在联系，对学生进行辩证唯物主义观点的教育；通过联系实际地引入问题和解决简单的带有实际意义的某些问题，培养学生用数学的意识，提高分析问题和解决实际问题的能力。

二、本章的特点

(一)注意打好基础，培养能力

函数是高等数学的基础，本章又是函数的基础。因此，本章注意保留和吸收现行教材重视基础知识讲授的优点。如讲述函数概念时，先引用初中已经学习过的函数概念，在复习回忆已学过的知识基础上，分析已学过的函数概念与映射概念的联系后，利用映射的观点刻画了函数的概念。这样，使学生对函数概念的理解就提高了一步，为了巩固这个概念。新课本举的例题较多。既有理解函数符号的题目，也有求函数的定义域的题目，注意叙述详细，书写规范，使学生对函数符号的含义及求定义域的方法等基础知识掌握的扎实、系统。函数不仅仅有如初中学习过的一次函数、二次函数等连续函数，也有离散的和分段函数。新课本为了加深对函数概念的理解，也举了这方面的例题，使学生从更广泛的侧面，更深刻的层次理解函数的概念。

在培养能力方面，本章注意讲授知识形成的全过程。首先说明知识的来源，然后说明或推导结论的过程，再其次举例指明所学知识的应用等，使学生在学习知识的全过程中提高数学的能力。例如，指数函数这节，先从某种细胞分裂的实际问题引入，总结和观察变化规律，给出指数函数的概念，然后依据所学的绘制函数图象的方法描点得到具体的指数函数的图象。观察图象的变化特点给出指数函数的性质，最后再举例说明它的应用。其他各节也都是基本按照这样的程序讲述的，使学生从知识形成的全过程的学习中提高数学的能力。

(二)注意理论与实际结合，培养学生用数学的意识

理论与实际相结合是编写教材的一条重要原则，培养学生用数学的意识，提高分析问题和解决实际问题的能力是中学数学的教学目的之一。本章同其他各章一样，遵循这样的原则，注重培养学生用数学的意识。

新课本十分注重从实际问题引入，讲函数概念有 贴近实际生活的营销问题，有学生熟悉的邮票问题。反 函数是从学生刚刚在物理课学过的匀速直线运动的位 移和时间的函数关系，即从(其中速度v 不变)的关系引出反函数的概念。对数是从国民生产总 值的问题引入的。章前引言从实际问题导出。为了突出 联系实际，单独设一节“函数的应用举例”。从几个方 面说明所学数学知识的应用。章前图的说明也起到数 学来源于实际，阅读材料“自由落体运动的数学模型 ”等内容都是为培养学生用数学的意识而精选和安排的实例。

(三)注意培养学生的思维能力

思维能力是各种能力的核心，它不仅仅是学习数学和学习其他学科所必须具备的能力，也是日常生活中不可缺少的能力。新课本注意思维能力的培养，如在例题中加“注”，着重说明解答问题的方法，使学生不仅知道应该怎样做，还知道为什么这样做。如比较1.70.3与0.93.1的大小时说明为什么要在两个值中间插入值1的道理都属于这方面的说明。又如在求函数的定义域的例题后总结的几种情况是解题规律，提示思考的方法，使例题真正能起到示范作用。这样不仅教给学生会解这道题，而且还启发学生以后运用它去解决其他类似的问题。

三、教学中应该注意的问题

(一)注意与初中内容的衔接

函数这章内容是与初中数学最近的结合点。如果初中代数中的内容没有学习好或遗忘的过多，学习本章就有障碍。本章很多内容都是在初中的基础上讲授的，如函数概念，要在讲授之前复习好初中函数及其图象的主要内容，包括函数的概念、函数图象的描绘，一次函数、二次函数的性质等等；又如指数概念的扩充，如果没有正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的基础知识，有理数指数幂就无法给出，运算性质也是如此，因此在本章教学中要注意与初中所学的有关内容的联系，做好初、高中数学的衔接和过渡工作。

(二)注意数形结合

本章的内容中图象占有相当大的比重，函数图象对于研究函数的性质起到很重要的作用。通过观察函数图象的变化趋势，可以总结出函数的性质。本章的函数奇偶性就是观察函数图象关于原点或纵坐标轴对称的特性总结出来的。函数与反函数的函数图象的关系也是通过图象变化特点来归纳的性质，指数函数的性质、对数函数的性质本身就是由函数图象给出的。所以在本章教学中要特别注意利用函数图象，使学生不仅能从图象观察得到相应的性质，同时在研究性质时也要有函数图象来印证的思维方式。在教学过程中要注意培养学生绘制某些简单函数图象的技能，记住某些常见的函数图象的草图，养成利用函数图象来说明函数的性质和分析问题的习惯。

(三)注意与其他章内容的联系

本章是在集合与简易逻辑之后学习的，映射概念本身就属于集合的知识。因此，要经常联系前一章的内容来学习本章，又如学会二次不等式解集的表示就要用到求函数的定义域或表示值域等知识上来。简易逻辑中的充要条件在本章中就要用到。同样本章学到的知识将在后续内容也要经常用到。因此，要注意与其他章节的联系，也要注意联系物理、化学等学科的知识内容来丰富和巩固本章的内容。

四、有待研究的问题

(一)关于课时问题

《原大纲》的幂函数、指数函数和对数函数共安排36课时，将“集合”的内容移到新课本的集合与简易逻辑一章中，约6课时，删去“幂函数及其图象、换底公式、简单指数方程和对数方程”等几部分内容约10课时，而增加的“指数、对数及函数应用举例”等几部分内容约需10课时，这样新课本第二章函数约需30课时。在传统内容处理上，又删去了“互为反函数的函数图象间的关系关于直线y=x对称”“奇函数的图象关于原点成中心对称图形”“偶函数的图象关于y轴成轴对称图形”等3个定理的证明。练习、习题的数量没有增加，难度没有提高。这样的教学要求在规定的课时内能否完成，有待在试验过程中总结和研究。

(二)关于教学要求的问题

《新大纲》在教学内容之后提出的教学要求是对所列内容最终应该达到的要求。有些内容或者说大部分内容通过本章的教学可以达到；而有些内容仅通过本章的学习不能达到要求，还要经过以后的学习和巩固才能达到要求。如“能运用函数的性质解决某些简单的实际问题”就不能在本章内达到要求，还要随着所学知识的增多，理解能力的提高，才能够逐步达到最终的教学要求。这样教材显得浅，与教学要求有一定的距离的矛盾应该如何解决，有待试验和探索来解决。

（方明一）