《全日制普通高级中学教科书(试验本)·数学》第一册(上)的第一章是“集合与简易逻辑”。这一章主要讲述集合的初步知识与简易逻辑知识两部分内容。集合的初步知识是现行高中数学教科书中原来就有的内容，这部分主要包括集合的有关概念、集合的表示及集合同集合之间的关系。简易逻辑知识则是新增加的内容，这部分主要介绍命题的基本知识、逻辑联结词“或”“且”“非”、四种命题及其相互关系、充要条件等有关知识。

集合概念及其基本理论，称为集合论，是近代数学的一个重要的基础。一方面，许多重要的学科，如数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用。

逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科。学习数学，需要全面地理解概念，正确地进行表述、推理和判断，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用。更广泛地说，在日常生活、学习、工作中，基本的逻辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具，是人们文化素质的组成部分。

在高中数学中，集合的初步知识与简易逻辑知识，与其他内容有着密切联系，它是学习、掌握和使用数学语言的基础，这就是把它们安排在高中数学起始章的出发点。

本章共编排了8小节，教学时间约需22课时，大体分配如下，供教师在教学中参考。

1.1集合 约2课时

1.2子集、全集、补集 约2课时

1.3交集、并集 约2课时

1.4带绝对值不等式的解法 约2课时

1.5一元二次不等式的解法 约3课时

1.6命题 约2课时

1.7四种命题 约3课时

1.8充分条件与必要条件 约2课时

小结与复习 约4课时

这里需要说明一点，本章是高中数学的起始章，课时安排得相对宽松一些，像小结与复习部分安排4课时，其中考虑到对初中内容进行适当复习、巩固的因素。

一、内容与要求

大体上按照集合与逻辑这两个基本内容，我们把第一章编排成两大节。

第一大节是“集合”。学生在小学和初中数学中，已经接触过集合，对于诸如数集(整数的集合、有理数的集合)、点集(圆)等，都有了一定的感性认识。在此基础上，这一大节首先结合实例引出集合与集合的元素的概念，并介绍了集合的表示方法。然后，从讨论集合与集合之间的包含与相等的关系入手，给出了集的概念。此外，还给出了与子集相联系的全集与补集的概念。接着，又讲述了属于集合运算的交集、并集的初步知识。鉴于不等式的内容目前初中数学只讲述一元一次不等式与一元一次不等式组，考虑到集合知识的运用与巩固，又考虑到下一章讨论函数的定义域与值域的需要，第一大节最后安排的是绝对值不等式与一元二次不等式的解法。此外，在这一大节之后，还附了一篇关于有限集合元素个数的阅读材料。

这一大节的重点是有关集合的基本概念，学习集合的初步知识，可以使学生更好地理解数学中出现的集合语言，可以使学生更好地使用集合语言表述数学问题，并且可以使学生运用集合的观点研究、处理数学问题，这里，起重要作用的就是有关集合的基本概念。

这一大节的难点是有关集合的各个概念的含义以及这些概念相互之间的区别与联系。学生是从本章才正式开始学习集合知识的，这部分包含了比较多的新概念，还有相应的新符号，有些概念、符号还容易混淆，这些因素都可能造成学生学习的障碍。

第二大节是“简易逻辑”。学生在初中数学中，学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识，掌握了简单的推理方法(包括对反证法的了解)。由此，这一大节首先给出命题和含有“或”“且”“非”的复合命题的意义，介绍了判断含有“或”“且”“非”的复合命题的真假的方法。接下来，讲述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法。然后，通过若干实例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识。

这一大节的重点是逻辑联结词“或”“且”“非”与充要条件。学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”“且”“非”与充要条件的有关内容是十分必要的。

这一大节的难点是对一些代数命题真假的判断。初中阶段，学生只是对简单的推理方法有一定程度的熟悉，并且，相关的技能和能力，主要还是通过几何课的学习获得的，初中代数侧重的是运算的技能和能力，因此，像对代数命题的证明，学生还需要有一个逐步熟悉的过程。

本章与原教科书比较，集合部分在保留原有基本内容的前提下，做了一些小的调整；逻辑部分则是在原来初中的四种命题、高中的充要条件和分散在几处的逻辑联结词等内容的基础上，经过适当充实而编排成的一个新单元。此外，高中数学(试验本)在整体体例上有新的举措，相应地在这一章中，也增加了章头图与序言、阅读材料、复习参考题中的B组题，章末的“小结”改成“小结与复习”，等等。

把简易逻辑的内容增加到高中数学中，其必要性可以从下面几方面认识。

从目前高中学生的学习看，对简易逻辑的一些基本知识有一定的接触，但缺乏比较系统的了解，对高中数学学习中遇到的一些与逻辑有关的问题，不能正确的认识。

例如，学生不了解复合命题的基本知识，就认为式 子

是不妥当的。

又如，学生不熟悉必要条件、充分条件、充要条件之间的区别与联系，对于像与一元二次方程的判别式有关的问题，特别是证明题，就不能全面理解，也就难以正确地解答。

从国外与港、台的高中数学教材看，把有关逻辑的内容纳入教学已成为近年来国际上中学数学教材改革的一种趋势。此外，从1988年开始，人民教育出版社中学数学室就组织编写了一套《高级中学试验课本数学》，其中就增加了“简易逻辑”的内容，经过数年试验，效果还是比较明显的。

根据《全日制普通高级中学数学教学大纲(供试验用)》的规定，本章的教学要求是：

1．理解集合、子集、交集、并集、补集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合；掌握带绝对值的不等式与一元二次不等式的解法。

2．了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；掌握四种命题及其相互关系；迸一步了解反证法，会用反证法证明简单的问题；掌握充要条件。

有关集合的教学要求，新教材与原教材基本相同。从新大纲上看，只在最后“掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合”这个要求中，原大纲的表述是“较简单的集合”，新大纲删去了“较”字。本章在处理这个问题时，适当降低了要求。

有关逻辑的教学要求，与原教材比较，有以下调整。增加了“了解命题的构成”与“理解逻辑联结词‘或’‘且’‘非’的含义”这两条；“掌握四种命题及其相互关系”与“反证法”的要求，在经过适当充实后，由初中移至高中；“掌握充要条件”的要求则由高二提前至高一开始。

二、本章的特点

(一)注意初中与高中的衔接

近年来，在与本章有关的内容上，按照教学大纲，初中的教学要求有哪些变化呢?

先看有关集合的部分。初中适当渗透一些集合思想，这一点基本没有变化。此外，初中去掉了一元二次不等式与绝对值不等式的内容。

再看有关逻辑的部分。1996年以前的初中毕业生，应该达到以下要求：(1)了解命题的概念；(2)初步掌握逆命题和逆定理的概念，能正确叙述题设与结论都是简单命题的逆命题，了解正确命题的逆命题不一定正确；(3)了解四种命题及其相互关系；(4)理解用反证法证明命题的思路，能用反证法证明一些比较简单的几何题。从1996年起，对于高一新生，初中的要求又有进一步调整。上述(2)改为：了解逆命题和逆定理的概念，原命题成立它的逆命题不一定成立，会识别两互逆命题。(3)删去。(4)改为：了解反证法。

基于以上情况，考虑到学习高中数学的需要，新教材一方面补充了一些必要的知识点，例如关于一元二次不等式与绝对值不等式的解法；另一方面对一些初中相对薄弱的内容，适当予以加强，例如关于命题的概念、反证法等。

除了知识之外，尚需考虑在技能、能力方面初高中的衔接。例如，关于交集、并集的概念，教科书先从图形表示入手，让学生有一个直观的认识，然后给出定义，再用实例加以说明，并且引出概念的图形也只是采用了一种简明的形式，而没有画出全部可能出现的情况。又如，本章是对比初中学过的一元—次不等式，并且借助二次函数的图象，讲述一元二次不等式解法的。

(二)重视集合与逻辑在中学数学学习中的应用

本章是高中数学的基础，学习本章，主要目的是为了理解后续章节出现的集合与逻辑语言，会用集合与逻辑语言描述学习中遇到的数学问题，进而解决这些问题。像对一些性质、定理的理解，对函数的定义域、值域的描述，对推理方法的掌握，等等。

本章在集合与逻辑内容的编排上，既考虑到知识的系统性，又照顾到学生的可接受性，并且始终围绕着集合与逻辑在中学数学学习中的应用这一基本出发点。

在集合这部分，有关集合运算的内容，就注意在解方程和不等式方面的应用，在数学概念的分类方面的应用。

在逻辑这部分，有关命题的内容，突出的是对逻辑联结词“或”、“且”、“非”的理解和对复合命题真值的认识，而不过多地涉及对一个语句是不是命题的判断。此外，像关于复合命题的否定，对近期学习影响不大，学生学习又比较困难，本章基本未涉及。

三、教学中应注意的问题

(一)教学要求的把握要适时、适度

本章是高中数学的起始章，适当地把握本章的教学要求是教学中应该重视的问题。

集合与逻辑的初步知识是高中数学的基础知识，学习这些内容，主要是为今后进一步学习其他知识作基本语言、基本方法的准备，相应地，对知识系统性、严谨性的要求一定要适度。

例如，学习有关集合的初步知识，其目的主要在于 应用。具体说，就是在学习其他知识时，能读懂其中的 简单的集合概念和符号；在处理简单的实际问题时，能 根据需要，运用集合语言进行表述。在安排训练时，要 把握一定的分寸，不要搞偏题、怪题。例如，集合有关 性质的证明，一般不要求学生掌握。又如，有些可能混 淆但在实际问题中并不多见的关系，就不必故意编排 在一起，让学生去一一进行辨析，像

与

，{O} 与

，等等。

本章安排的是集合与逻辑的初步知识，这些知识的讲述，是以初中数学的内容为基础的。从引出有关知识的实例，到具体应用的问题，基本都属于初中数学的范围，这种局限自然会对有关知识的理解和掌握造成一定影响。随着后续章节的学习，对集合与逻辑知识的应用将越来越广泛和深入，相应地，对集合与逻辑知识理解和掌握的水平也就越来越高了。因此，本章的教学要求，应该避免一步到位。

例如；关于含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真 值表，在开始时，教学重点还是借助三个真值表，加深 对含有“或”、“且”、“非”的复合命题的了解，能对像，这样的式子有初步的认识，而不必急于让学生掌握对一般复合命题的真假的判断。

又如，关于充分条件、必要条件与充要条件，本章对教学要求的尺度，还是控制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜。

(二)提高集合与逻辑的教学效益

目前高中数学教学的一个突出问题是教学效益不高。具体表现在：一方面，学生用在数学上的时间比较多，与美国比，是美国学生的好几倍；另一方面，学生在考试中表现良好，但创造能力和应用能力有一定欠缺，个性发展也存在着不足之处。

为了后续章节的学习，在本章必须给学生打下适当的集合与逻辑基础，限于学生的预备知识与接受能力，在本章又不能过多地追求理论的完整，只有处理好这个关系，才能提高教学效益。因此，在实际教学时，一定要抓住重点。怎样把握本章的教学重点呢?一是要有助于对初中数学的理解，二是要能为高中数学的学习扫除障碍。换句话说，学习集合与逻辑，要着眼于用集合与逻辑的知识解决数学学习中的问题，而不要在概念的严谨性、知识的系统性上花过多的时间与精力。像逻辑中有不少问题，在学术界内部都有争论，在高一数学中，就完全没有必要去涉及了。

(三)使用数学符号要规范

本章教材有不少集合与逻辑的数学符号，这些符号的采用，依据的是新的国家标准，其中有些符号与原教科书不同，在教学时应该注意。

下面给出本章使用的新数学符号与原教科书的旧符号的对照表：

新数学符号旧符号N(自然数集、非负整数集)N(正整数集)N*或N+(非负整数集内排除0的集)等Q+，R-等CAB(集合A中子集B的补集或余集)(非p) 四、有待研究的问题

(一)集合与高中数学其他内容的联系

为了使学生学好集合的内容，应该让学生初步了解学习集合的意义。本章编排的章头序言和一篇关于有限集合元素个数的阅读材料，就蕴涵这个目的，此外，在集合这部分安排了解不等式的内容，也有这个考虑。但是，与另外的知识点，例如函数相比，集合与高中数学其他内容的联系在教科书中的反映，恐伯还有进一步加强的必要，并且，无论是不等式解集的表示，还是函数的定义域、值域的表示，使用集合的形式，其必要性也不是绝对的。

希望教师与教研员能在试验中，结合学生对集合的学习，探讨一下上述问题。

(二)逻辑内容的编排

数学是一门以演绎为主的科学，需要讲究逻辑基础，但是，对于中学数学而言，需要考虑两个问题：一是内容的深广度，像对命题的概念与命题的构成，讲多少，讲到什么程度；二是内容的层次，编排时，是侧重高中学习的需要，还是侧重逻辑知识的系统性。

1996年，高等院校数学与力学教学指导委员会主任姜伯驹教授在一次工作会议上指出，数学教学“要从数学素质出发，而不是从培养数学家出发”，他还说到，“数学中，一般搞数学的人对数理逻辑也没有太仔细的研究，其中麻烦的东西多着呢，我们也就不去管它了。欧几里得的公理，希尔伯特的《几何基础》中很多，我们不是也没有深究，不是也学过来了吗?”

姜伯驹教授的意见对我们探讨本章内容的深广度与层次是有启发的。

（袁明德）