《全日制普通高级中学教科书(试验本)·数学》第一册(上)，包括三章内容，共需68课时。

第一章集合与简易逻辑…………………………… 22课时

主要内容

1．关于集合的最基本的概念、术语和符号，以及一些不等式的解法与相应解集的表示；

2.关于命题的最基本的概念，三种逻辑联结词，四种命题的联系和充要条件。

第二章函数……………………………………30课时

主要内容:

1.关于映射和函数的基本的概念、性质及函数应用举例；

2.指数概念的扩充，指数函数；

3.对数的概念，对数函数。

第三章数列………………………… 16课时

主要内容:

1．关于数列的基本概念，等差数列和等比数列；

2．数学归纳法。

本册教科书供高中一年级的第一学期使用，按照《全日制普通高级中学课程计划(供试验用)》的规定，高中一年级开设数学必修课，每周4课时。

一、教学内容和教学要求

(一)以集合和逻辑为基础，函数为重点，数列为一类特殊对象，是本书教学内容总体设计的主线。

精简传统内容，建立合理的知识体系，渗透，介绍近现代数学思想方法，适应21世纪的需要，是本套新教材的基本编写精神。

集合论是近、现代数学重要基础，逻辑推理在数学中有特殊的作用。鉴于它们的重要基础作用，“新教材将“集合与简易逻辑”作为高中数学的起始章。这既是为了更好地发挥它们的基础作用，更便于数学语言的表达使用，使后继内容的学习更顺利；这是为了及早地使学生接触它们，增加使用它们的机会，更好地了解、理解和掌握相应的内容以及其中蕴含的数学思想方法。简易逻辑是形式逻辑与命题逻辑的基础知识，虽然在过去的教材中也介绍了一些这方面的内容，但是内容较少且安排分散。此次编写时除保留了原高中教材以集合基础知识为起点的做法外，又在第一章新增加了简易逻辑部分，新安排了逻辑联结词等有关命题逻辑的基础知识内容，并将原来分散处理的命题的有关概念、四种命题、反证法及充要条件等逻辑初步知识集中在一章讨论，这样就使高中数学的整体基础进一步巩固。为给学习集合和逻辑提供具体素材，同时也为以后研究函数做准备，本册书在第一章中还插入解不等式的有关内容。第一章在整个高中数学教材中占有重要的基础地位，与后续各章都有密切的联系。

映射与函数是数学中极其重要的基本概念，从数学角度刻划事物的运动变化和相互联系离不开它们，数学中许多内容都建立在它们的基础之上。随着高中数学内容的不断更新，微积分等近代数学内容进入高中数学课程，映射和函数的作用范围、更加广泛。函数概念历来被认为是高中数学中的重点，新教材将“函数”列为第二章，是为了更突出函数概念以及包含于其中的数学思想的地位，使之发挥更大的作用。映射观点下的函数一般概念抽象性较强，理解它需要一个“特殊——一般——特殊“的认识过程。在初三的数学课中，已学习了对应观点下的函数定义(初等定义)及一次函数和二次函数等一些具体的函数。在此基础上，高一数学课中学习函数的一般概念，再用它来认识更广泛的基本初等函数(例如指数函数、对数函数等)，这样安排是联接合理、适时可行的。与现行必修本相比，本册书第二章减少了过去教材对具体函数的介绍内容，未专讲幂函数，而对函数的应用强调程度有所提高。这种有取有舍的变化是为了合理安排课时，突出重点知识，加强分析、解决问题能力的培养。

与现行必修本相比，数列、数学归纳法的安排都由高二提前列高一，这是本套课本的一个新变化。数列的通项公式和前n项和公式可以看作以正整数为自变量的一种特殊函数

在学习了第二章函数，接着学习数列是合适的。这样安排既有利于认识数列的本质，也有利于加深和巩固对函数概念的理解。按新大纲规定数列部分的教学内容和教学目标在难度上有所控制，在高一学习它估计不会有太大困难。数学归纳法是一种体现归纳思想的重要方法，它对于关于正整数的命题应用价值很大，在高一学习它可使它的应用作用得到更充分的发挥。数列和数学归纳法都与整序变量相关，两者联系密切，因此数学归纳法被安排为第三章的一个主要教学内容。学习数学归纳法不仅要重视证明步骤，而且要重视其中的思想方法。此外，本册书的另一新安排是明确给出数列递推公式的意义，同时对它的使用范围予以适当控制，这就在不增加难度的前提下加强了递推方法的介绍。

本册书的三章内容中，第一章“集合与简易逻辑”在全套书中占有基础地位；在集合与映射的基础上，安排了第二章“函数”，这是高中数学的重点内容；在已有函数的一般概念的基础上，又安排了第三章“数列”。数列可认为是一类特殊函数(以正整数为自变量)的一系列函数值。三章之间有着“从基础到重点，又从一般到特殊”这样的发展顺序，它们互相联系，形成本册书的体系。

(二)学好基础知识，培养思维能力，加强应用意识，是本书教学要求的出发点。

本册书的内容在高中数学中占有重要的基础地位，学好基础知识，按照《新大纲》制定的有关教学目标，分层次地了解、理解、掌握和灵活运用集合与逻辑、函数、数列的相应内容(具体要求详见各章的简介，此处不再赘述)，是本册书最基本的教学要求。

由本册书的内容所决定，培养思维能力是教学要求中的一个重点。在数学思维能力方面高中生应比初中生有较大的发展。初中数学中推理证明主要在几何内容中进行训练，在代数内容中偏重于培养运算能力。本册书的内容按过去教材的划分主要属于代数部分，但其中涉及较多思维训练的内容。例如，仅就推理论证而言，本册书中就有反证法、数学归纳法、利用函数的有关概念和性质证明一些数学命题等一系列内容。对本册书的学习，有助于“会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；能运用数学概念、思想和方法，辩明数学关系，形成良好的思维品质。”

加强学生用数学的意识，引导他们把数学知识应用到相关学科和社会生活、生产的实际中去，切实培养他们解决实际问题的能力，是本册书教学要求的一个重要方面。为此，编写时特意安排了相应的小节和阅读材料(后文中将在“特点”部分介绍)。

综上所述，本册书的总体教学要求可归结为：分层次地达到各部分内容的教学目标；突出基础知识教学和基本能力(特别是思维能力)培养，注意数学思想方法的渗透与灌输；加强应用数学的意识，帮助学生形成良好的个性品质和辩证唯物主义观点。

二、本书的编写特点

(一)承上启下，注重基础

作为新高中数学教科书中的第一本书，应是义务教育初中数学教材的直接后继教材。因此，本册书的编写特别重视与初中数学教学的衔接。本册书中许多地方都涉及初、高中数学知识上的联系。例如，在第一章中讲集合和简易逻辑时，所用的例子大多是学生在初中学过的内容，这便于学生在原有知识基础上，通过已知的具体例子来理解新知识。第一章中有关不等式的内容，是初中所学相关内容的继续，也是后面函数内容的预备知识。又如，第二章中函数的内容，是在初中所学函数的对应观点下的定义和一次函数、二次函数等具体函数类型基础上的提高。这种初、高中内容相结合的安排，符合螺旋式上升和由具体到抽象的认识规律。此外，初、高中数学在教学方法上存在许多差别，初中数学的教学内容较具体，模仿性的练习较多，比较强调基本技能训练；高中数学的内容相对说来抽象性较强，比较强调对基本概念的理解基础上的再创造式的运用，对思维能力、运算能力、空间想象能力等(在本册书中主要是思维能力)的要求较高。学生对于高中数学的学习方法也需要一个适应过程，因此做好初、高中数学教学的过渡衔接不仅要考虑知识方面，而且要考虑如何调动学生积极思维，使他们尽快适应高中的学习内容和方法。为此，本册书在编写时注意了在如何逐步提高学生分析和解决问题的能力上下功夫，在叙述方式和例、习题的选编设计方面，力求符合学生的认知规律。

本册书在全套教科书中具有重要的基础地位。这主要表现在下面几方面：

1．本册书的主要内容是整个高中数学教材体系的重要基础。例如，本册书的第一章“集合与简易逻辑”在整套教科书中的作用是至关重要的。集合是最基础的概念，数学中许多其他内容都与之密切相关，几何图形是点的集合，函数是数的集合间的映射，概率统计要涉及随机试验下可能出现结果的集合，简易逻辑中时四种命题的关系和充要条件，在数学各部分内容的讨论中随处可见。又如，本册书的第二章为“函数”，函数可以将中学数学中的解析式、方程、不等式等诸多内容统一起来，组合数学和概率统计中函数的例子不胜枚举，微积分专门讨论函数变化率。因此，学好本册书会为整个高中数学学习打下良好的基础。

2．本册书的某些数学思想方法是高中数学中的重要思想方法。例如，利用化归思想将实际问题抽象为数学模型，将未知转化为已知，从特殊对象归结出一般规律，将关于无限的问题转化为有限步骤的证明来完成等；讨论集合所用的分类的方法；研究函，数所用的数形结合的方法；等等。这些数学思想方法不仅在本册书中，而且在后面其他各册书中都是带有一般性的常用重要思想方法。

3．本册书所用的关于集合等内容的符号表示法，是整个高中数学各部分内容都要使用的基本数学符号语言。新增的简易逻辑是学习概念、判断、推理必须遵循的基本规则。

对于本册书特殊的基础地位，编写时给予了充分重视。搞好基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养，是用好本册书的关键。

(二)联系实际，强调应用

本册书的编写，力求贯彻理论联系实际的原则，尽量从实际问题出发，结合实际例子讲述抽象内容，介绍数学知识的实际应用。例如，第二章中专门安排了“2．9函数的应用举例”一节，通过例题介绍了函数在几何问题、复利计算和大气压测量等方面的应用。在阅读材料中介绍了数学模型方法，并结合伽利略研究自由落体运动的历史典故，介绍了建立数学模型的一般步骤。第三章安排了分期付款等联系实际的例题，以及建筑规划、测定长度等实际应用较广泛的习题；在阅读材料中安排了有关储蓄的一些计算内容。本册书的习题也适当地增加了一定量的联系实际的题目，意在多创设些联系实际考虑问题的氛围和锻炼机会。对于这些联系实际的内容，编写时予以了充分重视，虽然它们与真正的实际问题还有一定距离，但是对于加强用数学的意识，为今后更广泛地使用数学创造条件，还是有重大作用的。培养学生应用数学理论解决实际问题的能力，需要一个循序渐进的过程，作为教材的内容与专门的数学建模讨论还有所不同，因此教材中实际问题抽象为数学问题的训练难度不能过高，而是从联系实际的数学应用问题入手做起。教材安排联系实际的内容的目的，不仅是为了介绍抽象理论的实际背景，有利于抽象理论的学习，而更重要的是通过分析和解决这些问题，使学生用数学的意识和能力得到加强。

(三)渗透数学思想方法，突出培养思维能力

本册书在编写时考虑到数学教学不应仅仅是单纯的知识传授，而应在讲知识内容时注意对其中的数学思想方法加以提炼总结，使之能逐步被学生掌握并对他们发挥指导作用。因此，各章的内容安排注意对数学思想方法的体现。前文已述，本册书的知识内容中蕴含着许多基本的数学思想方法。例如，化归思想，分类方法，数形结合方法，通过否定问题反面而肯定问题正面的证明方法——反证法，通过验证有限的特殊情况和递归转化来证明无限的一般情况的证明方法——数学归纳法。对数学思想方法的介绍，要注意符合学生的接受能力，对于高一学生来说，由于他们思维发展及所学知识的限制，我们认为以渗透方式和画龙点睛式的总结方式进行这方面的教学较为适宜。因此，本册书在具体处理方式上采用了这样的做法。例如，第三章中注意了渗透“数列与一类特殊函数相互联系”的观点。引导学生注意知识间的内在联系，从更高的角度来认识数列的本质，使对数列的认识同化到已有的对函数的认识之中。

由本册书三章内容所决定，相对来说，本册书中培养思维能力的任务，要比培养运算能力和空间想象能力的任务更突出。为加强学生思维能力的培养训练，本册书安排了一些探索性和开放性较强的问题，需要采用“观察——归归纳——猜想——试探——证明“的方式解决。例如第三章的“小结与复习”中的例2等就属这类问题。对于这类问题，编写时意在重视它们在思维训练方面的价值，注意引导学生总结解决这类问题的通法。第三章还安排了关于完全归纳法和不完全归纳法的阅读材料等，这些内容都有助于提高学生的思维能力。

三、使用本书应注注意的几个问题

本册书的编写力求贯彻《新大纲》所规定的高中数学的教学目的，体现全套书编写指导思想。结合本册书中三章具体内容的特点，请大家注意以下几个问题。

(一)辩证唯物主义观点的培养

“培养良好的个性品质和辩证唯物主义观点”，是高中数学的教学目的之一。本册书的许多数学内容都充分体现辩证思想，例如逻辑部分中四种命题间存在对立统一，否定之否定等关系；函数概念中蕴含着事物的运动变化，及事物间依一定规律相互联系的观点；数列与函数间有着特殊与一般的关系；数学归纳法体现了有限与无限的联系与转化的思想。这些内容都可以成为对学生进行辩证唯物主义教育的素材，应寓思想教育于数学教学之中，通过运用辩证法的观点、方法分析和解决具体问题，对学生进行潜移默化的熏陶。数学来源于实践，又经受实践检验，最终服务于实践。这种唯物主义的观点应引导学生逐步认识。

(二)数学语言的使用训练

高中数学教学对学生使用数学语言的要求比初中数学教学有明显的提高，即要求表达问题时语言更准确、更简练、更规范。《新大纲》指出：“要随着学生对基础知识的理解的不断加深，...，培养学生独立获取新知识和正确运用数学语言进行数学交流的能力。”符号化是数学语言的一个显著特征，随着教学内容的不断扩充和抽象性的加强，高中数学中要使用更多的符号和术语。例如，本册书的第一章的教学任务就包括了让学生掌握有关集合的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合问题。又如，第一章中的充要条件是数学各部分内容都要涉及的，对证明充要条件的正确表述应加强训练，这不仅有利于掌握充要条件的概念，而且有利于后面其他内容的学习。

本册书涉及反证法，数学归纳法等在证明过程的表达上具有特殊格式的证法。要让学生掌握这些证法的基本步骤，就必须注意训练如何叙述证明过程。学习这些证法时，往往既会遇到证明思路本身的难点，又会遇到语言表达的难点。为帮助学生克服难点，应注意控制问题的难度，从简单问题证明的叙述训练入手，而避免两种难点交织在一起。

对数学语言使用的训练应结合所学内容有的放矢地进行，教师应注意做好示范，并给学生较充分的练习机会。

(三)各部分内容间的联系

使用本册书应注意它与初中内容的联系，以及它本身三章间的联系。

在初中，已对集合思想进行了渗透，初中数学中大量的内容，在本册书第一章中可作为学习集合和简易逻辑的具体素材，借助这些内容有助于了解或理解抽象性较强的新知识。本册书的不等式内容是初中所学不等式的进一步扩充；函数内容是在初中相应内容基础上从更高层次的再认识；反证法等有关逻辑的内容在初中也有过直接或间接的接触，在本册书将它们集中起来较系统地加以讨论。做好初、高中数学的衔接，既有利于自然顺畅地学习新内容，又有利于巩固旧知识。

本册书三章的内容互相联系，第一章的集合概念是原始概念，它直接关系到第二章映射与函数的概念；函数概念又是非常重要的基本概念，它与第三章的数列概念存在一般与特殊的关系。第一章中不等式的内容，直接涉及第二章中函数定义域的计算；而简易逻辑的内容，与后面各章中命题的推理论证关系密切。因此，对于这册书的教学要注意整体体系安排，根据学习认知规律设计好各个教学阶段，处理好各教学环节的衔接，打好基础，突出重点，注意一般与特殊之间的关系(例如，在数列的教学中注意以函数的观点来认识问题)，加强各章间的联系，并为后续内容做好铺垫。

(四)把握教学要求

高中数学在抽象程度和理解深度等方面比初中都有更高的要求，而且从初中升入高中在学习方法上也有相应变化，需要一个适应过程。因此，把握好教学要求，防止急于求成、要求过高的倾向很重要。

鉴于学生过去接触代数证明问题较少，而代数问题与几何问题相比抽象性一般更强些，所以本册书有关这方面的推理论证训练注意从简单问题入手，逐步提高，控制难度。反证法和数学归纳法都是较特殊的证明方法，教材将重点放在掌握证明过程的基本步骤及能合乎逻辑地表述证明的基本步骤上，把握例、习题的难度，注意避免片面地追求题目的难度，不给学生过重的负担。有些要求并不是要一下子达到的，而需随着对后续内容的学习再逐步达到。例如，对函数概念的确切理解。对反证法和数学归纳法的运用等，都需要较长的过程。总之，教材力求把数学思维训练的目标，确定在一般学生经过努力可以达到的适当水平。希望教学中能悉心体会教材，把握好教学深浅度。

(田载今)

人民教育出版社中学数学室