| 第三部分 内容标准
第三学段（7～9年级）
一、数与代数
在本学段中，学生将学习实数、整式和分式、方程和方程组、不等式和不等式组、函数 等知识，探索数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律，初步掌握一些有效地表示、处理和交 流数量关系以及变化规律的工具，发展符号感，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用 意识，提高运用代数知识与方法解决问题的能力。
在教学中，应注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，注重使学生经历从 实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性与合理性的过程，应加强方程、不 等式、函数等内容的联系，介绍有关代数内容的几何背景；应避免繁琐的运算。
(一)具体目标
1．数与式
（1）有理数
① 理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小。
② 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不 含字母）。
③ 理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步 为主）。
④ 理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。
⑤ 能运用有理数的运算解决简单的问题。
⑥ 能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断。［参见例1］
（2）实数
① 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。
② 了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某 些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。
③ 了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。
④ 能用有理数估计一个无理数的大致范围。［参见例2］
⑤ 了解近似数与有效数字的概念；在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问 题的要求对结果取近似值。
⑥ 了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则 运算(不要求分母有理化)。
（3） 代数式
① 在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义。
② 能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示。［参见例3与例4］
③ 能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义。［参见例5］
④ 会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值 进行计算。
（4）整式与分式
① 了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）。
② 了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算（ 其中的多项式相乘仅指一次式相乘）。
③ 会推导乘法公式：（a＋b）（a－b）= a2－b2；（a＋b）2 = a2＋2ab＋ b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。
④ 会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。
⑤ 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、 乘、除运算。［参见例6］
2．方程与不等式
（1）方程与方程组
① 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数 学模型。
② 经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。［参见例7］
③ 会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中 的分式不超过两个）。
④ 理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的 一元二次方程。
⑤ 能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
（2）不等式与不等式组
① 能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。
② 会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。会解由两个一元一次不等式组 成的不等式组，并会用数轴确定解集。
③ 能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单 的问题。
3．函数
（1）探索具体问题中的数量关系和变化规律［参见例8］
（2）函数
① 通过简单实例，了解常量、变量的意义。
② 能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例。
③ 能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。［参见例9］
④ 能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求出函数值 。
⑤ 能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系。［参见例10］
⑥ 结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测。［参见例11］
（3）一次函数
① 结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式。
② 会画一次函数的图象，根据一次函数的图象和解析表达式y=kx+b（k≠0）探索并理解 其性质（k＞0或k＜0时，图象的变化情况 ＝。
③ 理解正比例函数。
④ 能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。
⑤ 能用一次函数解决实际问题。
（4）反比例函数
① 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式。
② 能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式y=kx（k≠0 ）探索并理解其性质（k>0或k<0时，图象的变化）。
③ 能用反比例函数解决某些实际问题。
（5）二次函数
① 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。
② 会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。
③ 会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决 简单的实际问题。
④ 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
二、空间与图形
在本学段中，学生将探索基本图形（直线形、圆）的基本性质及其相互关系，进一步丰 富对 空间图形的认识和感受，学习平移、旋转、对称的基本性质，欣赏并体验变换在现实生活中 的广泛应用，学习运用坐标系确定物体位置的方法，发展空间观念。
推理与论证的学习从以下几个方面展开：在探索图形性质、与他人合作交流等活动过程中， 发展合情推理，进一步学习有条理地思考与表达；在积累了一定的活动经验与掌握了一定的 图形性质的基 础上，从几个基本的事实出发，证明一些有关三角形、四边形的基本性质，从而体会证明的 必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化 思想。
在教学中，应注重所学内容与现实生活的联系，注重使学生经历观察、操作、推理、想像等 探索过程；应注重对证明本身的理解，而不追求证明的数量和技巧。证明 的要求控制在《标准》所规定的范围内。
（一）具体目标
1．图形的认识
(1) 点、线、面
通过丰富的实例，进一步认识点、线、面（如交通图上用点表示城市，屏幕上的画面是由 点组成的）。
（2）角
①通过丰富的实例，进一步认识角。
②会比较角的大小，能估计一个角的大小，会计算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行 简单换算。
③了解角平分线及其性质【1】
（3）相交线与平行线
注【1】角平分线上的点到角的两边距离相等 ，角的内部到两边距离相等的点在角的平分线上。
①了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。
②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。
③知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。
④了解线段垂直平分线及其性质【1】 。
⑤知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质。
⑥知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线,会用三角尺和直尺过已知直线外一 点画这条直线的平行线。
⑦体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。
（4）三角形
①了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角 平分线、中线和高，了解三角形的稳定性。
②探索并掌握三角形中位线的性质。
③了解全等三角形的概念，探索并掌 握两个三角形全等的条件。
④了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质【2】和一个三角 形是等腰三角形的条件［3］；了解等边三角形的概念并探索其性质。
⑤了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质［4］和一个三角形是直角三角形的条件［5］
⑥体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判 定直角三角形。
（5）四边形
① 探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念。
② 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系 ；了解四边形的不稳定性。
注
【1】线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的 垂直平分线上。
【2】等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线三线合一。
[3]有两个角相等的三角形是等腰三角形。
[4]直角三角形的两锐角互余，斜边上的中线等于斜边一半。
[5]有两个角互余的三角形是直角三角形。
③探索并掌握平行四边形的有关性质［１］和四边形是平行四边形的条件［2］ 。
④探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质［3］和四边形是矩形、菱形、正方形的条件［4］。
⑤探索并了解等腰梯形的有关性质［5］和四边形是等腰梯形的条件。［6］
⑥探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义（如一根均匀木棒、一块 均匀的矩形木板的重心）。
⑦通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面， 并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。
（6）圆
①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆以及圆 与圆的位置关系。
②探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。
③了解三角形的内心和外心。
④了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的 切线，会过圆上一点画圆的切线。
⑤会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积。
（7）尺规作图
① 完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线。
② 利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形； 已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。
③ 探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。
④ 了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）。
（8）视图与投影
① 会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图 ），会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型。
② 了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。
③了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；通过典型实例，知道这种关 系在现实生活中的应用（如物体的包装）。
注：
［1］平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。
［2］一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分的 四边形是平行四边形。
［3］矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线 互相垂直平分。
［4］三个角是直角的四边形，或对角线相等的平行四边形是矩形;四边 相等的四边形，或对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
［5］等腰梯形同一底上的两 底角相等，两条对角线相等。
［6］同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形。
④观察与现实生活有关的图片(如照片、简单的模型图、平面图、地图等)，了解并欣赏一 些有趣的图形(如雪花曲线、莫比乌斯带)。
⑤通过背景丰富的实例，知道物体的阴影是怎么形成的，并能根据光线的方向辨认实物的阴 影（如在阳光或灯光下，观察手的阴影或人的身影）。
⑥了解视点、视角及盲区的涵义，并能在简单的平面图和立体图中表示。
⑦通过实例了解中心投影和平行投影。
三、统计与概率
在本学段中，学生将体会抽样的必要性以及用样本 估计总体的思想，进一步学习描述数据的 方法，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。
在教学中，应注重所学内容与日常生活、自然、社会和科学技术领域的联系，使学生体 会统计与概率对制定决策的重要作用；应注重使学生从事数据处理的全过程，根据统计结果 作出合理的判断；应注重使学生在具体情境中体会概率的意义；应加强统计与概率之间的联 系；应避免将这部分内容的学习变成数字运算的练习，对有关术语不要求进行严格表述。
(一)具体目标
1．统计
（1）从事收集、整理、描述和分析数据的活动，能用计算器处理较为复杂的统计数据。
（2）通过丰富的实例，感受抽样的必要性，能指出总体、个体、样本，体会不同的抽样可 能得到不同的结果。［参见例1］
（3）会用扇形统计图表示数据。
（4）在具体情境中理解并会计算加权平均数；根据具体问题，能选择合适的统计量表示数 据的集中程度。
（5）探索如何表示一组数据的离散程度，会计算极差和方差，并会用它们表示数据的离散 程度。［参见例2］
（6）通过实例，理解频数、频率的概念，了解频数分布的意义和作用，会列频数分布表， 画频数分布直方图和频数折线图，并能解决简单的实际问题。
（7）通过实例，体会用样本估计总体的思想，能用样本的平均数、方差来估计总体的 平均数和方差。
（8）根据统计结果作出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰地表达自 己的观点，并进行交流。
（9）能根据问题查找有关资料，获得数据信息；对日常生活中的某些数据发表自己的看法 。
（10）认识到统计在社会生活及科学领域中的应用，并能解决一些简单的实际问题。［ 参见例3］
2．概率
（1）在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发 生的概率。［参见例4和例5］
（2）通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估 计值。［参见例6］
（3）通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题。［参见例7］
(二)案例
例1 电视台需要在本市调查某节目的收视率，每个看电 视的人都要被问到吗？对一所大学 学生的调查结果能否作为该节目的收视率？你认为对不同社区、年龄层次、文化背景的人所 做的调查结果会一样吗？
例2 下面是两个水果店1至6月份的销售情况（单位 ：千克）， 比较两个水果店销售量的稳定性。
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1月 |
2月 |
3月 |
4月 |
5月 |
6月 |
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甲商店 |
450 |
440 |
480 |
420 |
580 |
550 |
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乙商店 |
480 |
440 |
470 |
490 |
520 |
520 |
例3 统计某商店一个月内几种商品的 销售情况，对这个商店的进货提出你的建议。
例4 一个袋中装有2个黄球和2个红球，任意摸出一个球 后放回，再任意摸出一个球，求两次都摸到红球的概率。
例5 如图转动转盘，求转盘停止转动时指针指向阴影部 分的概率。
例6 通过实验获得图钉从一定高度落下后钉尖着地的频率。
例7 一个游戏的中奖率是1%，买100张奖券，一定会中奖吗?
四、课题学习
在本学段中，学生将探讨一些具有挑战性的研究课题，发展应用数学知识解 决问 题的意识和能力；同时，进一步加深对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系。
在前两个学段的基础上，教学时应引导学生结合生活经验提出课题、积极地思考所面临的课 题、清楚地表达自己的观点并能够解决一些问题。
(一)具体目标
1． 经历"问题情境-建立模型-求解-解释与应用"的基本过程。
2． 体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识。
3． 获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识。
4．通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。
(二)案例
例 用一张正方形的纸制作一个无盖的长方体，怎样制 作使得体积较大？
说明 这是一个综合性的问题，学生可能会从以下几个方面进行思考：① 无盖长方体展开后是什么 样？②用一张正方形的纸怎样才能制作一个无盖长方体？基本的操作步骤是什么？③制成的 无盖长方体的体积应当怎样去表达？④什么情况下无盖长方体的体积会较大？⑤如果是用一 张正方形的纸制作一个有盖的长方体，怎样去制作？制作过程中的主要困难可能是什么？
通过这个主题的学习，学生进一步丰富自己的空间观念，体会函数思想以及符号表示在实际 问题中的应用，进而体验从实际问题抽象出数学问题、建立数学模型、综合应用已有的知识 解决问题的过程，并从中加深对相关知识的理解、发展自己的思维能力。 |
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