天津实验中学数学组 

摘要：“数学象所有别的科学一样是一门实验科学。”学生应重走人类掌握数学的历程，从直观具体的实验阶段走入抽象理论阶段。在学习数学的过程中，应促使学生尽可能地亲自去发现尽可能多的东西, 使学生学会运用归纳、类比的方法和实验手段学习数学。以“数学实验”活动为核心的数学教学,将使数学教学成为再创造、再发现的教学；它为学生们提供了主体参与，积极探索，大胆实践，勇于创新的学习环境；在改变了学生学习方式的同时，使学生的主体参与意识得以加强，使学生的创新意识得以提高。

关键词：数学实验。

数学实验室教学模式是以“主体、探索、创新”和“数学教学是再创造再发现的教学”为基本理念,在数学教学中，通过选择和使用合适的课程材料，恰当的教学工具，先进的教学技术，组织适当的数学实验，使学生在数学实验与操作的过程中进行观察、分析、探索、猜想和归纳，从而亲身体验数学，理解数学的一种教学模式．

一 、课题研究的目的

传统的数学教学主要是以教师讲授，学生接受为主要手段，对数学概念、定义  、定理、公式通过讲解、举例引导学生学习数学，这是一种被动的单向的教学方式和学习方式．以“数学实验”活动为核心的数学教学不是直接将现成的结论交给学生，而是根据数学思想发展的脉络，充分利用实验手段，设计系列问题增加辅助环节，从直观、想象到发现、猜想，然后给予验证及理论证明．从而，使学生经历数学建构过程，逐步掌握认识事物，发现真理的方式、方法．本课题研究的目的是利用数学实验室的活动，在数学课堂教学中创设教学环境，激发学生的学习兴趣；扩展获取知识的空间，改变学生的学习方式；使学生的主体参与意识得以加强，使学生的创新意识得以提高，从而促进数学课堂教学模式的变革．

二 、理论依据与实践依据

（一）．理论依据

1．建构主义的学习观和教学观

建构主义认为认识不是主体对客观实在的简单、被动的反应，而是主体以自己已有的知识经验为依托所进行的积极主动的建构过程．因此，在学习过程中已有的认知结构和主体对建构过程的积极参与是非常重要的．即学生不是被动的知识接受者，而是主动的信息加工者．学生在已有的知识结构的基础上，对信息进行主动地选择、加工和处理．不断地同化和顺应，从而构建新的认识结构．建构主义学习观清楚地阐明了学习者积极参与、主动探求，对新知识构建的重要作用．

建构主义学习理论认为：学习者的知识是在一定的情境下，借助与他人的帮助，如人与人之间的协作，交流或利用必要的信息通过意义的建构而获得的．因此建构主义把情境、协作、交流、意义建构作为组成学习过程的四大要素．为此，教师要尽可能的创设有利于学习者对所学内容意义建构的教学情境．

2主体教育的理论

主体教育实验自２０世纪９０年代产生以来，至今已有近１０年，它对我国的中小学教育教学改革产生了广泛而深刻的影响，它认为人的主体性素质是现代化社会人的核心素质，在教育中应该注重培养和发展人的主体性．“学生既是教育的客体，又是教育的主体．”教育者应当为学生主体性的发展提供适当的环境和一切便利的条件，并在教育过程中充分调动他们学习和自我发展的积极主动性．

“活动”是主体性的具体体现，只有在活动中，人的特征才得以形成和发展，人格的各种要素才得以产生并结合成一个整体．人的活动越丰富，人的发展就越充分，越全面；人的活动越深入，人的研究意识就越强，越有创造力．

3认知发生原理

作为个人的智力发展基本上重复人类祖先智力发展的主要过程或主要阶段，个人的认识过程与人类及其祖先的认识过程，在形式和内容的主要方面有相似性，这一规律即为认知发生原理．1880年法国数学家埃尔本特曾说：“数学象所有别的科学一样是一门实验科学．”学生应重走人类掌握数学的历程，从直观具体的实验阶段走入抽象理论阶段．在学习数学的过程中，应促使学生尽可能地亲自去发现尽可能多的东西．荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾指出：“数学常被当作已经完成了的形式理论来教，……教师的任务是举例，讲解，学生的任务是模仿，唯一留给学生活动的机会是解题，……真正的数学家从来不是以这样的方式来学习数学的，他们常常凭借数学的直觉思维，作出各种猜想，然后再加以证实”．

4问题解决理论

思维始于问题，问题是数学的心脏。通过解决问题学习数学早已成为当代各国中学数学教学改革的一种指导性思想。通过问题解决教学，能激发学生学习数学的兴趣，培养学生创造性思维能力。数学实验室教学模式不仅把问题解决作为一种数学活动，而且把它落实到数学课程中，使学生在数学课程中长期自己分析问题、解决问题、获取知识，从而达到数学知识、数学创新意识、创新能力同步增长的目的。

（二）实践依据

从1995年开始，数学组就确定了以学生主体智力参与为重点，在教学中让学生积极探索，在探索中培养学生的创造思维能力，这样一个实验基调，并且以“含参数的二次函数”为题，开始筹建数学实验室．在连续六年来，数学实验室每年都有新的发展，丰富新的内容，逐步形成了数学实验室教学模式，另外在实践中培养了一批青年教师．

三、研究步骤（略）

四 、数学实验室教学模式流程

创设问题情境 　 　进行实验探索 　   发现结论、提出猜想

筛选结果、理论证明    　　反思、体验、提高

1．创设问题情境

好的问题是培养创新意识的前提，也是进行数学实验的前提，问题怎样创设出来呢？一是教师根据教学需要提出，如在讲指数函数性质时，就由教师提出问题：指数函数单调性与底数a有什么关系，再由学生实验．或是由学生自己提出问题，如讲全等三角形的判定，有的同学提出：斜边与直角边分别对应相等的两三角形全等，其本质是两边一角相等，两直角三角形全等．那么，除了直角三角形之外，还有那些三角形有这个特性？这个问题是学生自己提出来的，教师顺势让学生用圆规直尺作图进行实验．

2．            进行实验探索

根据提出的问题，教师提出实验课题，由学生利用计算机课件，计算器，规尺画图，数据演祘，或自制学具进行实验探索．在实验探索中主要采取独立思考与小组合作方式结合进行．

如在探索抛物线焦点弦性质和研究相似三角形判定时，利用几何画版实验；对三角形全等的判定则用规尺作图实验；对二项式定理的猜想是数据演算实验；对指数函数单调性是计算器实验；对两个等腰三角形拼成一个等腰三角形则采取自制等腰三角形纸板进行拼接实验．

3发现结论，提出猜想

学生通过实验探索，可以猜想和发现许多结论．例如，将求证二次函数过定点的问题改为开放性问题后，学生们发现了4——5个结论．关于指数函数的性质，课本中给出了三个结论，而学生们发现了7个结论．在教学中教师要鼓励学生大胆提出猜想，大胆发现结论．

4筛选结果，理论证明

 学生提出的大量猜想，大多数是正确的，也有不正确的，就由学生通过实验进行论证或举出反例淘汰错误结论．例如，在相似三角形判定中，有的学生提出：三对角对应相等，则两个三角形相似．学生在争论中利用三角形内角和定理，得出只要两对角对应相等即可到结论．也有的学生由两对角对应相等，类比出两组对应边成比例，则三角形相似，学生利用几何画版举出了不相似的反例.

对于正确的结论还必须要求学生进行严格的证明，大胆猜想与严格求证必须结合起来，使数学的严谨性和思维的深刻性得以体现．

5反思、体验、提高

对于一节实验课的最终结果不应该仅仅是解决问题，而重要的是发展问题，同时要注意引导学生总结有规律性的结论与解法，还要引导学生反思，把所探索的问题引向深入．例如，通过研究一元二次函数过定点问题，可由学生总结出任意曲线系过定点的规律性解法．在关于焦点弦中点性质实验中，就由学生总结出有关性质．在等腰三角形拼接实验中，又把等腰三角形引申为正方形等等．

五、 研究成果

六年来，我们进行了十几节数学实验室的教学模式试验，其中有：

1． 学习概念课——指数函数的性质（计算器归纳单调性）； 的图象（计算机课件对 、 、A与图象关系实验）．

2．发现结论课——相似三角形的判定定理（用几何画版发现判定定理）；含参数二次函数的性质（用计算机课件探索结论）；等差数列的通项公式及前n项和公式（通过演祘及数据实验发现公式）；抛物线焦点弦的性质（通过几何画版探索规律）．

3．探求解法课——两个等腰三角形拼接成一个等腰三角形（用三角形纸板实验，得出拼接的充要条件）；一元方程应用题（用物理参照物类比实验得到解法）．

4．反思结论课——全等三角形判定（用圆规直尺画图，研究边边角判定三角形的规律）．

5．深化习题课——全等三角形习题课（通过计算机课件演示实验，寻找一类题目的共同规律）．

6．复习总结课——圆锥曲线复习课，圆与圆的位置关系复习课（用计算机课件演示、通过实验操作，总结归纳知识）．

六、 研究结论

1．数学实验室的建立，创设了良好的教学情境，使学生有兴趣地、有信心地学习数学．

创设良好的教学环境可由两方面进行．其一创设宽松和谐的教学氛围，倡导教学民主．所谓教学民主就是让教育者和受教育者处于一种平等的地位，从而使学生能够有信心地参与教学活动．其二创设智力上有挑战性的数学问题情景．教师以学生的认知结构为依托或由学生提出的问题设计数学问题，使学生能够积极参与知识的建构过程．教学实践表明，运用现代教育技术手段，建立数学实验室的教学活动是一种能够引起态度和个性情绪变化的学习方式．

如付剑老师讲授的《含参数二次函数》一节课，含参数的一元二次函数是教学的一个难点，难点在于当参数变化时，一元二次函数发生什么变化，并不明确，也比较抽象。为了解决这个难点，我们利用计算机的交互性设计了相应的教学软件，采用了网络教学方式，学生们键入任意的 m值，在计算机屏幕上就可以迅速显示其对应的函数图象。在此基础上，我们向学生提出了开放性问题：已知关于x的二次函数y=x²+mx+m-2,你能得到什么结论。学生自己键入任意的m值进行实验，通过观察不同的m值的函数的不同图象，寻找这些图象的共同点。……此时，色彩绚丽的画面，轻松的氛围，开放的问题，一下子引发了学生的兴趣，调动起学生学习的积极性。

如张维老师讲授的《等腰三角形习题课》，教师首先提出课题，如何用两个等腰三角形拼成一个等腰三角形，然后发给每个小组一些纸片，让学生试验．

在小组里，学生很快把两个等腰直角三角形拼成一个等腰直角三角形，又把一个顶角为36⁰的等腰三角形和一个顶角为108⁰的等腰三角形拼成一个顶角为36⁰等腰三角形．在试验基础上，教师引导学生：除此而外还有哪两个等腰三角形能够拼成一个等腰三角形？这时学生的动手试验转变为动脑试验，在纸上通过画图试验，并把问题转为：怎样把一个等腰三角形拆成两个等腰三角形．学生在小组内兴致勃勃地画图研究，最后得出了结论．

这是一节通过拼图、画图、动手、动脑，实验探究等腰三角形性质的习题课，这节课激发了学生浓厚的学习兴趣．

2         数学实验室的建立，为学生提供了探究学习的平台，使学生积极主动的学习数学。

依据建构主义理论，学生不是被动的知识接受者，而是主动的信息加工者．如何改变传统教学中学生的被动学习方式，其关键取决于教师教学方式的变革。在“数学实验”的活动中，教师的角色得到改变，教师为学生设置实验题目，引导学生进行实验，组织学生的小组学习，引导学生将实验结果进行归纳证明，教师正在由知识的灌输者变为教学的组织者和学习的引导者、合作者。在“数学实验”的活动中，学生们通过实验、操作进行观察、分析、探索、猜想和归纳，从而亲身体验数学、理解数学，学生的学习已由接受性学习转变为探索性学习。

又如班春红老师讲授的《平行四边形判定方法的发现》一节课中，教师提出探索性问题：已知四边形ABCD，考虑条件 ①AB∥CD；②BC∥AD；③AB=CD；④BC=AD；⑤∠A=∠C；⑥∠B=∠D．任取六个条件中的两个，问能否得出四边形ABCD是平行四边形的结论？如果回答是肯定的，就请加以证明；如果回答是否定的，就请举出一个反例．学生通过小组合作学习共同讨论研究。

小组1回答：从六个条件中任取两个条件，一共有15种搭配方法，即（①②），（①③），（①④），（①⑤），（①⑥），（②③），（②④），（②⑤），（②⑥），（③④），（③⑤），（③⑥），（④⑤），（④⑥），（⑤⑥）．我们对这15种方案进行了论证。

小组2回答：上述15种不同的搭配方法可以分成七大类：

⑴（①②）——两组对边分别平行；

⑵（③④）——两组对边分别相等；

⑶（⑤⑥）——两组对角分别相等；

⑷（①③）（②④）——一组对边平行且相等；

⑸（①④），（②③）——一组对边平行，；另一组对边相等；

⑹（①⑤），（①⑥），（②⑤），（②⑥）——一组对边平行，一组对角相等；

⑺（③⑤），（③⑥），（④⑤），（④⑥）——一组对边相等，一组对角相等．

因此只需对这七类方案进行论证即可。我们可以看到小组2的同学对所探究的问题有更深层次的探索。

在上述教学实践中，我们可以看到教师通过“数学实验”活动，为学生的学习提供了探究学习的平台，为学生的学习营造了一个开放性的活动空间，使学生在民主、平等、和谐的学习氛围中积极动手、动脑、动口、积极参与到深层次的探索活动中来，从而使学生真正成为学习的主人。

3．数学实验室的建立，拓展了学生探究问题的空间，使学生富有创造性地学习数学。

创造性思维是指人脑中发现客观事物之间的本质及内在联系，在此基础上产生新颖的思维成果．数学创造性思维既从属于创造性思维又从属于数学思维，所以它具有创造性思维的特点，也体现深刻性、独创性、敏捷性、批判性等数学思维品质．培养学生创造性思维能力应是有层次的，它包括：独立思考，自主地参与学习过程，求新求异，创新，创造的渐进的过程．

在数学实验室的活动中，学生们以数学家的身份去观察、实验、分析、猜想、归纳、发现数学，使数学教学成为再创造、再发现的教学．在这一过程中，学生的创造性思维能力得到了提高．

在刘红英老师讲授的《相似三角形的判定》一节课中，教师改变传统的教法，引导学生利用《几何画版》的度量功能，猜想、验证，进而发现三角形相似的判定定理。

师：目前，我们有什么方法判断 ABC与 相似呢？

生：可以利用相似三角形的定义来判定，既当 A= ， B= ， C= ，且 = = 时， ABC~

师：有没有比较简单的判定方法呢？如果你是一个数学家，你将怎样去寻找其简单方法呢？

生：将定义中的条件减少。

师：将定义中的哪几个条件减少，就可以判定两个三角形相似？

学生们分小组讨论出若干个猜想。

师：这些猜想正确吗？请同学们通过计算机中《几何画版》软件的度量功能进行验证。

此时学生们的学习积极性已被教师调动起来，他们以强烈的求知欲望投入到探索、发现的过程中来。在教师提供的实验界面上，学生们亲自动手，用鼠标拖动三角形的顶点，使图形发生变化，观察计算机屏幕中有关数据的变化，对所提出的猜想进行验证。

有的学生提出了“猜想：若 且 ，则 。”此猜想成立吗？同学们在计算机的实验界面上进行实验，有的学生用鼠标拖动三角形的顶点，得到两个三角形，并利用几何画版的度量功能度量出相应的数据，（如图）